5. 已知：如图，在四边形ABCD中，$∠ B=∠ C=90°$，点P在线段BC上，且$∠ APD=90°$。求证：$△ ABP ∽ △ PCD$。

证明：
∵∠B=∠C=90°，
∠APD=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∠BAP+∠APB=90°。
∴∠CPD=∠BAP。
又
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD。

6. 如图，在$□ ABCD$中，过点B作$BE⊥ CD$，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且$∠ BFE=∠ C$。
(1)求证：$△ ABF∽△ EAD$。
(2)若$AE=2$，$∠ BAE=30°$，求AB的长。

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC。
∴∠C+∠D=180°，∠BAE=∠AED。
又
∵∠BFE=∠C，∠AFB+∠BFE=180°，
∴∠AFB=∠D。
∴△ABF∽△EAD。
(2)
∵AB//CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°。
∵AE=2，∠BAE=30°，
∴BE=1/2 AE=1。
由勾股定理，得AB=√(AE²−BE²)=√3。

7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=2∠ A$.
(1)在BC的延长线上找一点D，并连接AD，使得$∠ CAD=∠ BAC$.（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：$△ ABC ∽ △ DBA$.

(1)解：先以点A为圆心、任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再以点F为圆心、EF的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC的延长线于点D，如图所示，则∠CAD=∠BAC。

(2)证明：
∵∠ACB=2∠BAC，
∠CAD=∠BAC，
∴∠ACB=∠DAB。
又
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBA。

8. 定义：将$△ ABC$与$△ DEF$各分割成两个小三角形，如果$△ ABC$所分的两个三角形与$△ DEF$所分的两个三角形分别相似，那么称$△ ABC$与$△ DEF$互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”。如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$∠ A=60°$，$∠ A'=50°$，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”。如果是，请在图中画出一组近似分割线，分别注明分割后所得两个小三角形锐角的度数，并给出证明；若不是，请说明理由。

解：这两个三角形互为“近似三角形”，近似分割线如图所示。


∵∠A = ∠B'C'N = 60°，∠ACM = ∠B'=40°，
∴△ACM∽△C'B'N。
∵∠MCB = ∠A' = 50°，∠B = ∠A'C'N=30°，
∴△BMC∽△C'NA'。
∴Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'互为“近似三角形”。