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典例1 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ A+10°$，$∠ C=∠ B+10°$，求$△ ABC$各内角的度数.
规律方法 根据三角形的内角和定理建立方程模型，是用代数知识解决几何问题常用的方法.
规律方法 根据三角形的内角和定理建立方程模型，是用代数知识解决几何问题常用的方法.
答案
1. 解 $\because ∠ B=∠ A+10°,∠ C=∠ B+10°,∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ A+(∠ A+10°)+(∠ A+10°+10°)=180°,3∠ A+30°=180°,\therefore ∠ A=50°,\therefore ∠ B=60°,∠ C=70°.$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。题目给出了三个内角之间的数量关系，我们可以将∠B、∠C都用含∠A的式子表示，代入内角和公式就能建立关于∠A的一元一次方程，解出∠A的度数后，再依次求出∠B和∠C的度数即可。
【解析】
已知∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，结合三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将∠B替换为$∠ A+10°$，∠C替换为$∠ A+10°+10°$，代入得：
$∠ A + (∠ A + 10°) + (∠ A + 10° + 10°) = 180°$
整理得$3∠ A + 30° = 180°$
移项计算得$3∠ A = 150°$，解得$∠ A = 50°$
则$∠ B = 50° + 10° = 60°$，$∠ C = 60° + 10° = 70°$
【答案】
$∠ A=50°$，$∠ B=60°$，$∠ C=70°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用，核心是利用角度间的数量关系，结合内角和定理建立方程求解，是用代数方法解决几何问题的典型基础题型，熟练掌握这种转化思路能高效解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。题目给出了三个内角之间的数量关系，我们可以将∠B、∠C都用含∠A的式子表示，代入内角和公式就能建立关于∠A的一元一次方程，解出∠A的度数后，再依次求出∠B和∠C的度数即可。
【解析】
已知∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，结合三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将∠B替换为$∠ A+10°$，∠C替换为$∠ A+10°+10°$，代入得：
$∠ A + (∠ A + 10°) + (∠ A + 10° + 10°) = 180°$
整理得$3∠ A + 30° = 180°$
移项计算得$3∠ A = 150°$，解得$∠ A = 50°$
则$∠ B = 50° + 10° = 60°$，$∠ C = 60° + 10° = 70°$
【答案】
$∠ A=50°$，$∠ B=60°$，$∠ C=70°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用，核心是利用角度间的数量关系，结合内角和定理建立方程求解，是用代数方法解决几何问题的典型基础题型，熟练掌握这种转化思路能高效解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图，在$△ ABC$中，$∠ A＝60°$，$BP$平分$∠ ABC$，$CP$平分$∠ ACB$，求$∠ BPC$的度数。
典例解析
典例解析
答案
1. 解 $\because$ 在 $△ ABC$ 中，$∠ A=60°$，$\therefore∠ ABC+∠ ACB=120°.$
$\because BP$ 平分 $∠ ABC,CP$ 平分 $∠ ACB$，
$\therefore∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)=60°.$
$\because∠ PBC+∠ PCB+∠ BPC=180°,$
$\therefore∠ BPC=180°-60°=120°.$
$\because BP$ 平分 $∠ ABC,CP$ 平分 $∠ ACB$，
$\therefore∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)=60°.$
$\because∠ PBC+∠ PCB+∠ BPC=180°,$
$\therefore∠ BPC=180°-60°=120°.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先利用三角形内角和为180°的性质，结合给出的∠A的度数，先算出∠ABC与∠ACB的和；再根据角平分线的定义，可知∠PBC、∠PCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，由此可求出两个角的和；最后再次使用三角形内角和定理，在△PBC中即可算出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，
∴ $∠ ABC+∠ ACB=180°-∠A=180°-60°=120°$，
∵ $BP$ 平分 $∠ ABC$，$CP$ 平分 $∠ ACB$，
∴ $∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
∴ $∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵ 在$△PBC$中，$∠ PBC+∠ PCB+∠ BPC=180°$，
∴ $∠ BPC=180°-(∠ PBC + ∠ PCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线相关的基础综合题，可总结规律：三角形任意两个内角的角平分线的夹角，等于90°与第三个内角度数一半的和，掌握该规律可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，首先利用三角形内角和为180°的性质，结合给出的∠A的度数，先算出∠ABC与∠ACB的和；再根据角平分线的定义，可知∠PBC、∠PCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，由此可求出两个角的和；最后再次使用三角形内角和定理，在△PBC中即可算出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，
∴ $∠ ABC+∠ ACB=180°-∠A=180°-60°=120°$，
∵ $BP$ 平分 $∠ ABC$，$CP$ 平分 $∠ ACB$，
∴ $∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
∴ $∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵ 在$△PBC$中，$∠ PBC+∠ PCB+∠ BPC=180°$，
∴ $∠ BPC=180°-(∠ PBC + ∠ PCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线相关的基础综合题，可总结规律：三角形任意两个内角的角平分线的夹角，等于90°与第三个内角度数一半的和，掌握该规律可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
典例2 如图，小慧想知道黑板上直线$a$，$b$所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，便设计了间接测量方案，则直线$a$，$b$所夹锐角的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
）。A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
1. B
解析
【分析】
要计算直线a、b所夹的锐角，可先延长直线a、b，使二者相交后构成三角形，先利用邻补角的性质求出三角形的两个内角，再结合三角形内角和定理，就能求出直线a、b所夹锐角的度数。
【解析】
解：延长直线a、b，使两直线相交，构成三角形。
∵平角的度数为$180°$
∴$∠1$的邻补角度数为：$180° - 120° = 60°$
$∠2$的邻补角度数为：$180° - 100° = 80°$
根据三角形内角和为$180°$，可得直线a、b所夹锐角的度数为：
$180° - 60° - 80° = 40°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何知识在实际问题中的应用，解题核心是通过延长直线构造三角形，将无法直接测量的夹角转化为三角形的内角计算，解题思路灵活，难度不高。
【难度系数】
0.7
要计算直线a、b所夹的锐角，可先延长直线a、b，使二者相交后构成三角形，先利用邻补角的性质求出三角形的两个内角，再结合三角形内角和定理，就能求出直线a、b所夹锐角的度数。
【解析】
解：延长直线a、b，使两直线相交，构成三角形。
∵平角的度数为$180°$
∴$∠1$的邻补角度数为：$180° - 120° = 60°$
$∠2$的邻补角度数为：$180° - 100° = 80°$
根据三角形内角和为$180°$，可得直线a、b所夹锐角的度数为：
$180° - 60° - 80° = 40°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何知识在实际问题中的应用，解题核心是通过延长直线构造三角形，将无法直接测量的夹角转化为三角形的内角计算，解题思路灵活，难度不高。
【难度系数】
0.7
举一反三 如图，C地在B地的北偏西$40°$方向，C地在A地的北偏西$75°$方向，则$∠ ACB$的度数为
↑北
解析 如图，由题意知，直线$a$，$b$相交于点$A$，
$\because ∠ 1=120°$，$∠ 2=100°$，$\therefore ∠ 3=180°-∠ 1=60°$，$∠ 4=180°-∠ 2=80°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ 3-∠ 4=40°$，$\therefore$直线$a$，$b$所夹锐角的度数为$40°$. 故选B.
35°
。↑北
解析 如图，由题意知，直线$a$，$b$相交于点$A$，
$\because ∠ 1=120°$，$∠ 2=100°$，$\therefore ∠ 3=180°-∠ 1=60°$，$∠ 4=180°-∠ 2=80°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ 3-∠ 4=40°$，$\therefore$直线$a$，$b$所夹锐角的度数为$40°$. 故选B.
答案
2. 35°
解析
【分析】
本题是利用方向角和平行线性质求角度的题型，解题思路如下：首先明确正北方向的所有直线互相平行这一隐含条件；其次过点C作平行于正北方向的辅助线，根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”，可得辅助线分别与A、B两地的正北方向线平行；最后利用平行线内错角相等的性质，将两个方向角转化为与∠ACB相关的角，作差即可求出∠ACB的度数。
【解析】
过点C作CF平行于正北方向直线，
∵ 所有正北方向的直线互相平行，
∴ CF//过A地的正北线//过B地的正北线，
根据平行线的内错角相等性质：
∵ C地在A地的北偏西75°方向，
∴ ∠ACF=75°，
∵ C地在B地的北偏西40°方向，
∴ ∠BCF=40°，
∴ ∠ACB=∠ACF - ∠BCF=75° - 40°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
方向角的定义，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题属于方向角的基础应用题型，解题核心是抓住正北方向直线互相平行的隐含条件，通过作辅助线转化角度即可求解，侧重考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用方向角和平行线性质求角度的题型，解题思路如下：首先明确正北方向的所有直线互相平行这一隐含条件；其次过点C作平行于正北方向的辅助线，根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”，可得辅助线分别与A、B两地的正北方向线平行；最后利用平行线内错角相等的性质，将两个方向角转化为与∠ACB相关的角，作差即可求出∠ACB的度数。
【解析】
过点C作CF平行于正北方向直线，
∵ 所有正北方向的直线互相平行，
∴ CF//过A地的正北线//过B地的正北线，
根据平行线的内错角相等性质：
∵ C地在A地的北偏西75°方向，
∴ ∠ACF=75°，
∵ C地在B地的北偏西40°方向，
∴ ∠BCF=40°，
∴ ∠ACB=∠ACF - ∠BCF=75° - 40°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
方向角的定义，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题属于方向角的基础应用题型，解题核心是抓住正北方向直线互相平行的隐含条件，通过作辅助线转化角度即可求解，侧重考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
