登录
17. (1) 先化简,再求值:$x^2(2x-1)-2x(x^2-2x+3)$,其中 $x=\frac{1}{3}$;
(2) 若$|a+b-1|+(a-b-3)^2=0$,求$-3a^2(ab^2+2a)+4a(-ab)^2$的值.
(2) 若$|a+b-1|+(a-b-3)^2=0$,求$-3a^2(ab^2+2a)+4a(-ab)^2$的值.
答案
17. (1) 原式=$2x^3 - x^2 - 2x^3 + 4x^2 - 6x = 3x^2 - 6x$. 当$x=\frac{1}{3}$时,原式=$3×(\frac{1}{3})^2 - 6×\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}$ (2) 由题意,得$\begin{cases}a + b - 1 = 0,\\a - b - 3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=-1.\end{cases}$ 原式=$-3a^3b^2 - 6a^3 + 4a^3b^2 = a^3b^2 - 6a^3$. 当$a=2, b=-1$时,原式=$2^3×(-1)^2 - 6×2^3=-40$
解析
【分析】
(1) 本题属于整式化简求值类题目，解题思路为：先依据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项得到最简结果，最后把x的取值代入最简式计算即可得到答案。
(2) 本题先利用非负数的性质：绝对值和偶次幂都具有非负性，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的取值；再运用单项式乘多项式、积的乘方法则化简待求式，最后将a、b的值代入计算即可。
【解析】
(1) 展开原式：
$x^2(2x-1)-2x(x^2-2x+3) = 2x^3 - x^2 - 2x^3 + 4x^2 - 6x$
合并同类项得：$3x^2 - 6x$
将$x=\frac{1}{3}$代入上式：
原式$=3×(\frac{1}{3})^2 - 6×\frac{1}{3} = 3×\frac{1}{9} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$
(2) 因为$|a+b-1|≥0$，$(a-b-3)^2≥0$，且二者之和为0，因此可得方程组：
$\begin{cases}a + b - 1 = 0\\a - b - 3 = 0\end{cases}$
两式相加得$2a-4=0$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b-1=0$，解得$b=-1$。
化简待求式：
$-3a^2(ab^2+2a)+4a(-ab)^2 = -3a^3b^2 - 6a^3 + 4a·a^2b^2 = -3a^3b^2 -6a^3 +4a^3b^2 = a^3b^2 -6a^3$
将$a=2$，$b=-1$代入上式：
原式$=2^3×(-1)^2 - 6×2^3 = 8×1 - 6×8 = 8 - 48 = -40$
【答案】
(1) $-\frac{5}{3}$；(2) $-40$
【知识点】
单项式乘多项式；非负数的性质；整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式运算相关法则与非负数性质的综合应用，解题时要熟练掌握单项式乘多项式、积的乘方的运算规则，注意运算过程中符号的处理，代入数值计算时需严格遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于整式化简求值类题目，解题思路为：先依据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项得到最简结果，最后把x的取值代入最简式计算即可得到答案。
(2) 本题先利用非负数的性质：绝对值和偶次幂都具有非负性，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的取值；再运用单项式乘多项式、积的乘方法则化简待求式，最后将a、b的值代入计算即可。
【解析】
(1) 展开原式：
$x^2(2x-1)-2x(x^2-2x+3) = 2x^3 - x^2 - 2x^3 + 4x^2 - 6x$
合并同类项得：$3x^2 - 6x$
将$x=\frac{1}{3}$代入上式：
原式$=3×(\frac{1}{3})^2 - 6×\frac{1}{3} = 3×\frac{1}{9} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$
(2) 因为$|a+b-1|≥0$，$(a-b-3)^2≥0$，且二者之和为0，因此可得方程组：
$\begin{cases}a + b - 1 = 0\\a - b - 3 = 0\end{cases}$
两式相加得$2a-4=0$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b-1=0$，解得$b=-1$。
化简待求式：
$-3a^2(ab^2+2a)+4a(-ab)^2 = -3a^3b^2 - 6a^3 + 4a·a^2b^2 = -3a^3b^2 -6a^3 +4a^3b^2 = a^3b^2 -6a^3$
将$a=2$，$b=-1$代入上式：
原式$=2^3×(-1)^2 - 6×2^3 = 8×1 - 6×8 = 8 - 48 = -40$
【答案】
(1) $-\frac{5}{3}$；(2) $-40$
【知识点】
单项式乘多项式；非负数的性质；整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式运算相关法则与非负数性质的综合应用，解题时要熟练掌握单项式乘多项式、积的乘方的运算规则，注意运算过程中符号的处理，代入数值计算时需严格遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
18. 若$(1 + x^4 y^a) · (-x^b y)^2 = x^{16} y^4 + x^{2b} · y^2$，求$ab$的值.
答案
18. $\because (1 + x^4 y^a) · (-x^b y)^2 = x^{16} y^4 + x^{2b} · y^2, \therefore x^{2b} y^2 + x^{4+2b} y^{a+2} = x^{16} y^4 + x^{2b} · y^2. \therefore x^{4+2b} y^{a+2} = x^{16} y^4. \therefore 4 + 2b = 16, a + 2 = 4.$ 解得$b=6, a=2. \therefore ab=2×6=12$
解析
【分析】
解题时先从化简等式左侧入手，第一步先根据积的乘方法则计算$(-x^b y)^2$，再用得到的单项式乘多项式$(1 + x^4 y^a)$，将左侧展开后和右侧式子对比，消去两侧相同的项后，剩余的两个单项式相等，根据“同底数幂相等时，相同字母的指数对应相等”的性质，即可列出关于a、b的一元一次方程，解方程求出a、b后代入计算ab的值即可。
【解析】
解：先计算积的乘方：
$(-x^b y)^2 = (-1)^2 · (x^b)^2 · y^2 = x^{2b} y^2$
将其代入等式左侧，根据单项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}左边&=(1 + x^4 y^a) · x^{2b} y^2 \\&=1 · x^{2b} y^2 + x^4 y^a · x^{2b} y^2 \\&=x^{2b} y^2 + x^{4+2b} y^{a+2}\end{aligned}$
由题意得左侧等于右侧，即：
$x^{2b} y^2 + x^{4+2b} y^{a+2} = x^{16} y^4 + x^{2b} y^2$
两边同时减去$x^{2b} y^2$可得：
$x^{4+2b} y^{a+2} = x^{16} y^4$
根据同底数幂相等的性质，相同字母的指数对应相等，因此列方程：
$\begin{cases}4 + 2b = 16 \\ a + 2 = 4\end{cases}$
解得：$b=6$，$a=2$
则$ab=2×6=12$
【答案】
$\boxed{12}$
【知识点】
积的乘方运算、单项式乘多项式、同底数幂的性质
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，解题核心是先通过幂的运算、整式乘法法则化简等式，再利用等式性质建立方程求解参数，熟练掌握整式相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从化简等式左侧入手，第一步先根据积的乘方法则计算$(-x^b y)^2$，再用得到的单项式乘多项式$(1 + x^4 y^a)$，将左侧展开后和右侧式子对比，消去两侧相同的项后，剩余的两个单项式相等，根据“同底数幂相等时，相同字母的指数对应相等”的性质，即可列出关于a、b的一元一次方程，解方程求出a、b后代入计算ab的值即可。
【解析】
解：先计算积的乘方：
$(-x^b y)^2 = (-1)^2 · (x^b)^2 · y^2 = x^{2b} y^2$
将其代入等式左侧，根据单项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}左边&=(1 + x^4 y^a) · x^{2b} y^2 \\&=1 · x^{2b} y^2 + x^4 y^a · x^{2b} y^2 \\&=x^{2b} y^2 + x^{4+2b} y^{a+2}\end{aligned}$
由题意得左侧等于右侧，即：
$x^{2b} y^2 + x^{4+2b} y^{a+2} = x^{16} y^4 + x^{2b} y^2$
两边同时减去$x^{2b} y^2$可得：
$x^{4+2b} y^{a+2} = x^{16} y^4$
根据同底数幂相等的性质，相同字母的指数对应相等，因此列方程：
$\begin{cases}4 + 2b = 16 \\ a + 2 = 4\end{cases}$
解得：$b=6$，$a=2$
则$ab=2×6=12$
【答案】
$\boxed{12}$
【知识点】
积的乘方运算、单项式乘多项式、同底数幂的性质
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，解题核心是先通过幂的运算、整式乘法法则化简等式，再利用等式性质建立方程求解参数，熟练掌握整式相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
