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8. 计算：
(1) $\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+2\sqrt{\dfrac{x}{4}}-3x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$；
(2) $(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2}$.
(1) $\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+2\sqrt{\dfrac{x}{4}}-3x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$；
(2) $(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2}$.
答案
8. (1) 0 (2) $ -24\sqrt{6} $
解析
(1) 解：原式$=\dfrac{2}{3}×3\sqrt{x}+2×\dfrac{\sqrt{x}}{2}-3x×\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
$=2\sqrt{x}+\sqrt{x}-3\sqrt{x}$
$=0$
(2) 解：原式$=(18 - 12\sqrt{6} + 12)-(18 + 12\sqrt{6} + 12)$
$=(30 - 12\sqrt{6})-(30 + 12\sqrt{6})$
$=30 - 12\sqrt{6} - 30 - 12\sqrt{6}$
$=-24\sqrt{6}$
$=2\sqrt{x}+\sqrt{x}-3\sqrt{x}$
$=0$
(2) 解：原式$=(18 - 12\sqrt{6} + 12)-(18 + 12\sqrt{6} + 12)$
$=(30 - 12\sqrt{6})-(30 + 12\sqrt{6})$
$=30 - 12\sqrt{6} - 30 - 12\sqrt{6}$
$=-24\sqrt{6}$
9. 已知$a$，$b$是正整数，且满足$2(\sqrt{\dfrac{15}{a}}+\sqrt{\dfrac{15}{b}})$也是整数.
(1) 写出一对符合条件的数对$(a,b)$：
(2) 所有满足条件的有序数对$(a,b)$共有
(1) 写出一对符合条件的数对$(a,b)$：
答案不唯一,如(15,15)
；(2) 所有满足条件的有序数对$(a,b)$共有
7
对.答案
9. (1) 答案不唯一,如(15,15) (2) 7
提示:由已知,得 $ \sqrt{\dfrac{15}{a}} $ 和 $ \sqrt{\dfrac{15}{b}} $ 都是有理数,由于 $ 15 = 3 × 5 $,故设 $ a = 15m^{2} $, $ b = 15n^{2} $, $ m $, $ n $ 均为正整数,原式可化简为 $ \dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} $.满足原式为整数的 $ m $, $ n $ 取值为 1,1 或 1,2 或 2,2 或 3,6 或 4,4.进而得有序数对 $ (a,b) $ 的取值为 $ (15,15) $, $ (15,60) $, $ (60,15) $, $ (60,60) $, $ (135,540) $, $ (540,135) $, $ (240,240) $
提示:由已知,得 $ \sqrt{\dfrac{15}{a}} $ 和 $ \sqrt{\dfrac{15}{b}} $ 都是有理数,由于 $ 15 = 3 × 5 $,故设 $ a = 15m^{2} $, $ b = 15n^{2} $, $ m $, $ n $ 均为正整数,原式可化简为 $ \dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} $.满足原式为整数的 $ m $, $ n $ 取值为 1,1 或 1,2 或 2,2 或 3,6 或 4,4.进而得有序数对 $ (a,b) $ 的取值为 $ (15,15) $, $ (15,60) $, $ (60,15) $, $ (60,60) $, $ (135,540) $, $ (540,135) $, $ (240,240) $
解析
【分析】
(1) 要使$2(\sqrt{\dfrac{15}{a}}+\sqrt{\dfrac{15}{b}})$是整数，首先$\sqrt{\dfrac{15}{a}}$和$\sqrt{\dfrac{15}{b}}$需为有理数。因为15的质因数是3和5，均为一次，所以可设$a=15m^2$，$b=15n^2$（$m,n$为正整数），此时$\sqrt{\dfrac{15}{a}}=\dfrac{1}{m}$，$\sqrt{\dfrac{15}{b}}=\dfrac{1}{n}$，原式化简为$2(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$。取$m=n=1$，则$a=b=15$，此时原式$=2(1+1)=4$是整数，符合条件。
(2) 由上述分析，原式$\dfrac{2(m+n)}{mn}$需为整数，即$2(m+n)$能被$mn$整除。通过分类讨论正整数$m,n$的取值：
当$m=1$时，$\dfrac{2}{n}$需为整数，$n$可取1,2；
当$m=2$时，$\dfrac{2}{n}$需为整数，$n$可取1,2；
当$m=3$时，可解得$n=6$；
当$m=4$时，可解得$n=4$；
当$m=6$时，可解得$n=3$；
$m≥5$且$m≠6$时，无法找到正整数$n$使原式为整数。
最后统计所有对应的有序数对$(a,b)$即可得到总数。
【解析】
(1) 设$a=15m^2$，$b=15n^2$（$m,n$为正整数），则$2(\sqrt{\dfrac{15}{a}}+\sqrt{\dfrac{15}{b}})=2(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$。
取$m=n=1$，则$a=15×1^2=15$，$b=15×1^2=15$，此时$2(1+1)=4$是整数，符合条件，故一对符合条件的数对为$(15,15)$（答案不唯一）。
(2) 由$2(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$为整数，即$\dfrac{2(m+n)}{mn}$为整数，分情况讨论：
① 当$m=1$时，$\dfrac{2(1+n)}{n}=2+\dfrac{2}{n}$为整数，$\dfrac{2}{n}$为整数，$n=1$或$2$，对应$(a,b)=(15,15),(15,60)$；
② 当$m=2$时，$\dfrac{2(2+n)}{2n}=1+\dfrac{2}{n}$为整数，$\dfrac{2}{n}$为整数，$n=1$或$2$，对应$(a,b)=(60,15),(60,60)$；
③ 当$m=3$时，$\dfrac{2(3+n)}{3n}$为整数，解得$n=6$，对应$(a,b)=(15×3^2,15×6^2)=(135,540)$；
④ 当$m=4$时，$\dfrac{2(4+n)}{4n}=\dfrac{4+n}{2n}$为整数，解得$n=4$，对应$(a,b)=(15×4^2,15×4^2)=(240,240)$；
⑤ 当$m=6$时，$\dfrac{2(6+n)}{6n}=\dfrac{6+n}{3n}$为整数，解得$n=3$，对应$(a,b)=(15×6^2,15×3^2)=(540,135)$；
⑥ 当$m≥5$且$m≠6$时，不存在正整数$n$使$\dfrac{2(m+n)}{mn}$为整数。
综上，所有满足条件的有序数对$(a,b)$共7对。
【答案】
(1) $(15,15)$（答案不唯一）；(2) $7$
【知识点】
二次根式的性质、整数整除性、有理数概念
【点评】
本题考查二次根式化简与整数整除性的综合应用，解题关键是通过设参数将二次根式转化为有理数，再利用整数性质分类讨论所有可能的参数组合，注意有序数对需考虑顺序，避免遗漏或重复。
【难度系数】
0.3
(1) 要使$2(\sqrt{\dfrac{15}{a}}+\sqrt{\dfrac{15}{b}})$是整数，首先$\sqrt{\dfrac{15}{a}}$和$\sqrt{\dfrac{15}{b}}$需为有理数。因为15的质因数是3和5，均为一次，所以可设$a=15m^2$，$b=15n^2$（$m,n$为正整数），此时$\sqrt{\dfrac{15}{a}}=\dfrac{1}{m}$，$\sqrt{\dfrac{15}{b}}=\dfrac{1}{n}$，原式化简为$2(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$。取$m=n=1$，则$a=b=15$，此时原式$=2(1+1)=4$是整数，符合条件。
(2) 由上述分析，原式$\dfrac{2(m+n)}{mn}$需为整数，即$2(m+n)$能被$mn$整除。通过分类讨论正整数$m,n$的取值：
当$m=1$时，$\dfrac{2}{n}$需为整数，$n$可取1,2；
当$m=2$时，$\dfrac{2}{n}$需为整数，$n$可取1,2；
当$m=3$时，可解得$n=6$；
当$m=4$时，可解得$n=4$；
当$m=6$时，可解得$n=3$；
$m≥5$且$m≠6$时，无法找到正整数$n$使原式为整数。
最后统计所有对应的有序数对$(a,b)$即可得到总数。
【解析】
(1) 设$a=15m^2$，$b=15n^2$（$m,n$为正整数），则$2(\sqrt{\dfrac{15}{a}}+\sqrt{\dfrac{15}{b}})=2(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$。
取$m=n=1$，则$a=15×1^2=15$，$b=15×1^2=15$，此时$2(1+1)=4$是整数，符合条件，故一对符合条件的数对为$(15,15)$（答案不唯一）。
(2) 由$2(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$为整数，即$\dfrac{2(m+n)}{mn}$为整数，分情况讨论：
① 当$m=1$时，$\dfrac{2(1+n)}{n}=2+\dfrac{2}{n}$为整数，$\dfrac{2}{n}$为整数，$n=1$或$2$，对应$(a,b)=(15,15),(15,60)$；
② 当$m=2$时，$\dfrac{2(2+n)}{2n}=1+\dfrac{2}{n}$为整数，$\dfrac{2}{n}$为整数，$n=1$或$2$，对应$(a,b)=(60,15),(60,60)$；
③ 当$m=3$时，$\dfrac{2(3+n)}{3n}$为整数，解得$n=6$，对应$(a,b)=(15×3^2,15×6^2)=(135,540)$；
④ 当$m=4$时，$\dfrac{2(4+n)}{4n}=\dfrac{4+n}{2n}$为整数，解得$n=4$，对应$(a,b)=(15×4^2,15×4^2)=(240,240)$；
⑤ 当$m=6$时，$\dfrac{2(6+n)}{6n}=\dfrac{6+n}{3n}$为整数，解得$n=3$，对应$(a,b)=(15×6^2,15×3^2)=(540,135)$；
⑥ 当$m≥5$且$m≠6$时，不存在正整数$n$使$\dfrac{2(m+n)}{mn}$为整数。
综上，所有满足条件的有序数对$(a,b)$共7对。
【答案】
(1) $(15,15)$（答案不唯一）；(2) $7$
【知识点】
二次根式的性质、整数整除性、有理数概念
【点评】
本题考查二次根式化简与整数整除性的综合应用，解题关键是通过设参数将二次根式转化为有理数，再利用整数性质分类讨论所有可能的参数组合，注意有序数对需考虑顺序，避免遗漏或重复。
【难度系数】
0.3
