8. 如图,在$△ ABC$中,$BC=8\ \mathrm{cm}$,$BP$、$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,点$D$、$E$在$BC$上,且$PD// AB$,$PE// AC$,则$△ PDE$的周长是______$\mathrm{cm}$.

8

9. 如图，$△ ABC$ 的点 $A$、$C$ 在直线 $l$ 上，$∠ ABC=120°$，$∠ ACB=40°$，若点 $P$ 在直线 $l$ 上运动，当 $△ ABP$ 成为等腰三角形时，则 $∠ ABP$ 的度数是$\underline{\hspace{5em}}$．

10°或80°或20°或140°

10. 如图,在$△ ABC$中,点$E$在边$AB$上,点$D$在边$BC$上,$BD=BE$,连接$AD$与$CE$且相交于点$F$,有$∠ BAD=∠ BCE$.求证:$△ AFC$为等腰三角形.

证明： ∵在​$△ABD$​和​$△CBE$​中，$\begin{cases}∠BAD=∠BCE\\∠B=∠B\\BD = BE\end{cases}，$ ∴​$△ABD≌△CBE(\mathrm {AAS})，$​ ∴​$AB = CB，$​ ∴​$∠BAC = ∠BCA，$​ ∴​$∠BAC - ∠BAD = ∠BCA - ∠BCE，$​即​$∠FAC = ∠FCA，$​ ∴​$AF = CF，$​即​$△AFC$​是等腰三角形​$.$​

11. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AB$上,点$E$在$AC$的延长线上,且$BD=CE$,$FD=FE$.求证:$△ ABC$是等腰三角形.

证明：如图，过点​$D$​作​$DG//AE$​交​$BC$​于点​$G，$​
∴​$∠GDF = ∠CEF. $​在​$△GDF $​和​$△CEF_{中}，$​​$\begin {cases}∠GDF=∠CEF\\DF = EF\\∠DFG=∠EFC\end {cases}，$​ ∴​$△GDF≌△CEF(\mathrm {ASA})，$​ ∴​$DG = CE. $​又 ∵​$BD = CE，$​ ∴​$BD = DG，$​ ∴​$∠B = ∠DGB.$​ ∵​$DG//AC，$​ ∴​$∠DGB = ∠ACB，$​ ∴​$∠B = ∠ACB，$​ ∴​$AB = AC，$​即​$△ABC$​是等腰三角形​$.$​