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1. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle A = 50^{\circ}$,$E是边BC$的中点,连接$OE$并延长,交$\odot O于点D$,连接$BD$,则$\angle D$的度数为______.
答案
$65^{\circ}$
2. 如图,$AB为\odot O$的直径,弦$CD \perp AB$,$F为\overset{\frown}{BC}$上的一点,$DC$,$BF的延长线交于点E$. 求证：
$\angle EFC = \angle BFD$.
$\angle EFC = \angle BFD$.
答案
证明：连接 $BD$。
$\because \angle EFC+\angle BFC=180^{\circ}$，
$\angle BDC+\angle BFC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=\angle BDC$。
$\because CD\perp AB,\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore \angle BFD=\angle BDC$，
$\therefore \angle EFC=\angle BFD$。
$\because \angle EFC+\angle BFC=180^{\circ}$，
$\angle BDC+\angle BFC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=\angle BDC$。
$\because CD\perp AB,\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore \angle BFD=\angle BDC$，
$\therefore \angle EFC=\angle BFD$。
3. (教材$P_{90}T_{14}$变式)如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$,$D为\odot O$上一点,点$E在BD$的延长线上.
(1) 求证：$\angle BDC = 2\angle BAO$；
(2) 探究$\angle ADE与\angle BAO$之间的数量关系.
(1) 求证：$\angle BDC = 2\angle BAO$；
(2) 探究$\angle ADE与\angle BAO$之间的数量关系.
答案
解：(1)连接 $AC,OB,OC$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB=AC$。
$\because AO=AO,OB=OC$，
$\therefore \triangle AOB\cong \triangle AOC$，
$\therefore \angle BAO=\angle CAO$，
$\therefore \angle BDC=\angle BAC=2\angle BAO$；
(2)连接 $BC$。
$\because \angle ADE+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\angle ACB+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=\angle ACB$。
$\because AB=AC,\angle BAO=\angle CAO$，
$\therefore AO\perp BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle ACB=\angle ABC=90^{\circ}-\angle BAO$，
$\therefore \angle ADE+\angle BAO=90^{\circ}$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB=AC$。
$\because AO=AO,OB=OC$，
$\therefore \triangle AOB\cong \triangle AOC$，
$\therefore \angle BAO=\angle CAO$，
$\therefore \angle BDC=\angle BAC=2\angle BAO$；
(2)连接 $BC$。
$\because \angle ADE+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\angle ACB+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=\angle ACB$。
$\because AB=AC,\angle BAO=\angle CAO$，
$\therefore AO\perp BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle ACB=\angle ABC=90^{\circ}-\angle BAO$，
$\therefore \angle ADE+\angle BAO=90^{\circ}$。
4. 如图,$\odot O的半径为4$,弦$AB = 4\sqrt{3}$,$C为\odot O上异于点A$,$B$的一动点,则$\angle ACB$的度数为______.
答案
$60^{\circ}$或 $120^{\circ}$
5. 如图,在$\odot O$中,半径$OA与弦BD$垂直,点$C在\odot O$上,$\angle AOB = 80^{\circ}$,若点$C在劣弧\overset{\frown}{BD}$上,则$\angle ACD$的度数为______.
答案
$40^{\circ}$或 $140^{\circ}$
6. (原创题)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 6$,$AC = 8$,经过点$B且半径为5的\odot O与AB交于点D$,与$CB的延长线交于点E$. 求$DE$的长.
答案
解：连接 $DO$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $F$，连接 $EF$。
$\because DF$ 是直径，
$\therefore \angle DEF=90^{\circ}=\angle C$，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，
$\angle C=90^{\circ},BC=6,AC=8$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=10=DF$，
$\because$ 四边形 $BDFE$ 是圆内接四边形，
$\therefore \angle F+\angle DBE=180^{\circ}$。
又 $\because \angle ABC+\angle DBE=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle F$，
又 $\because \angle C=\angle DEF,AB=DF$，
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DFE$，
$\therefore DE=AC=8$。
$\because DF$ 是直径，
$\therefore \angle DEF=90^{\circ}=\angle C$，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，
$\angle C=90^{\circ},BC=6,AC=8$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=10=DF$，
$\because$ 四边形 $BDFE$ 是圆内接四边形，
$\therefore \angle F+\angle DBE=180^{\circ}$。
又 $\because \angle ABC+\angle DBE=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle F$，
又 $\because \angle C=\angle DEF,AB=DF$，
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DFE$，
$\therefore DE=AC=8$。
