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(教材变式)如图,C,F为线段AE上两点,BC⊥AE,DF⊥AE,AB= DE,则添加一个条件：①BC= DF；②∠A= ∠E；③AF= CE；④AC= EF。能用“HL”判定△ABC≌△EDF的是______。(填序号)
答案
①③④
1.(教材变式)如图,AC⊥BD,垂足为O,AO= CO,AB= CD,则可得到△AOB≌△COD,理由是()
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. HL
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. HL
答案
D
2.(2025赤峰)如图,已知∠C= ∠D= 90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD。以下给出的条件正确的是()
A. ∠ABC= ∠ABD
B. AC= AD
C. ∠BAC= ∠BAD
D. AC= BD
A. ∠ABC= ∠ABD
B. AC= AD
C. ∠BAC= ∠BAD
D. AC= BD
答案
B
3.(教材变式)如图,AC⊥AB,BD⊥CD,请添加一个条件,使△ABC≌△DCB。
(1)添加______,根据是(AAS)；
(2)添加______,根据是(AAS)；
(3)添加______,根据是(HL)；
(4)添加______,根据是(HL)。
(1)添加______,根据是(AAS)；
(2)添加______,根据是(AAS)；
(3)添加______,根据是(HL)；
(4)添加______,根据是(HL)。
答案
(1)$∠ABC=∠DCB$
(2)$∠ACB=∠DBC$
(3)$AB=CD$
(4)$AC=BD$
(2)$∠ACB=∠DBC$
(3)$AB=CD$
(4)$AC=BD$
4. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,点E在AC上,ED⊥AB于点D,BD= BC,若AC= 8,则AE+DE的长为______。
答案
8
5.(2025襄阳期末)如图,点F,C在AD上,AB⊥BC,EF⊥DE,AF= DC,BC= EF。求证：AB//DE。
答案
证明：$\because AB⊥BC,EF⊥DE,$
$\therefore ∠B=∠E=90^{\circ }.$
$\because AF=DC,$
$\therefore AF+FC=DC+FC,$
$\therefore AC=DF.$
在$Rt△ABC$和$Rt△DEF$中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt△ABC\cong Rt△DEF(HL),$
$\therefore ∠A=∠D,$
$\therefore AB// DE.$
$\therefore ∠B=∠E=90^{\circ }.$
$\because AF=DC,$
$\therefore AF+FC=DC+FC,$
$\therefore AC=DF.$
在$Rt△ABC$和$Rt△DEF$中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt△ABC\cong Rt△DEF(HL),$
$\therefore ∠A=∠D,$
$\therefore AB// DE.$
6. 如图,为使长方形相框ABCD既牢固又美观,妹妹请哥哥帮忙在两角的位置上钉两根长度相等的木条EF,GH,但要保证AF和DH相等,哥哥告诉妹妹,只要让AE和DG相等,就能保证AF和DH相等。你认为哥哥的说法对吗？为什么？
答案
解：哥哥的说法正确. 理由如下：
由已知可得$∠A=∠D=90^{\circ }.$
在$Rt△AEF$和$Rt△DGH$中，
$\left\{\begin{array}{l} EF=GH,\\ AE=DG,\end{array}\right.$
$\therefore Rt△AEF\cong Rt△DGH(HL),$
$\therefore AF=DH,$
$\therefore$ 哥哥的说法正确.
由已知可得$∠A=∠D=90^{\circ }.$
在$Rt△AEF$和$Rt△DGH$中，
$\left\{\begin{array}{l} EF=GH,\\ AE=DG,\end{array}\right.$
$\therefore Rt△AEF\cong Rt△DGH(HL),$
$\therefore AF=DH,$
$\therefore$ 哥哥的说法正确.
