24. 【知识回顾】
一般地,两数和的完全平方公式为$ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } $。如果我们将$ ( a - b ) ^ { 2 } 写成 [ a + ( - b ) ] ^ { 2 } $,就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式。过程如下：$ ( a - b ) ^ { 2 } = [ a + ( - b ) ] ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a \cdot ( - b ) + ( - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } $。
【类比推理】
(1)已知两数的立方和公式为$ a ^ { 3 } + b ^ { 3 } = ( a + b ) ( a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } ) $,请类比两数差的完全平方公式的推理过程,推导两数的立方差公式：$ a ^ { 3 } - b ^ { 3 } = a ^ { 3 } + ( - b ) ^ { 3 } = $______。
【应用公式】
(2)因式分解：$ x ^ { 4 } + x $。
(3)因式分解：$ x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y + 3 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 } $。
【拓展提升】
如图,将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形$ A B C D $,设$ S _ { 四边形 A B C D } = S _ { 1 } $,$ S _ { 四边形 E F G H } = S _ { 2 } $,$ S _ { 四边形 M N P Q } = S _ { 3 } $。若$ S _ { 1 } + S _ { 2 } + S _ { 3 } = 39 $,解答下列各题：
(4)$ S _ { 2 } = $______。
(5)该直角三角形的两条直角边长分别为$ a 和 b ( a ＞ b ) $,且$ S _ { 3 } = 1 $,请先将代数式$ a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } $进行因式分解,然后求出代数式的值。

(1) $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
(2)解:原式 $ = x(x^3 + 1) = x(x + 1) \cdot (x^2 - x + 1) $。
(3)解:原式 $ = x^3 - y^3 - 3xy(x - y) = (x - y)(x^2 + xy + y^2) - 3xy(x - y) = (x - y)(x^2 + xy + y^2 - 3xy) = (x - y) \cdot (x - y)^2 = (x - y)^3 $。
(4)13 【解析】设每个直角三角形的面积为 $ S_4 $。由题意,得 $ S_1 = S_2 + 4S_4 $, $ S_3 = S_2 - 4S_4 $, $ S_1 + S_2 + S_3 = 39 $,所以 $ S_2 + 4S_4 + S_2 + S_2 - 4S_4 = 39 $,所以 $ 3S_2 = 39 $,解得 $ S_2 = 13 $。
(5)解:原式 $ = (a^3 + b^3) + 2ab(a + b) = (a + b)(a^2 - ab + b^2) + 2ab(a + b) = (a + b)(a^2 + ab + b^2) = (a + b)[(a + b)^2 - ab] $。因为 $ S_3 = 1 $, $ S_4 = \frac{1}{4}(S_2 - S_3) $,所以 $ a - b = 1 $, $ \frac{1}{2}ab = 3 $,所以 $ ab = 6 $,所以 $ a + b = \sqrt{(a - b)^2 + 4ab} = 5 $。所以原式 $ = 5 \times (25 - 6) = 95 $。