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7.【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，知$x≠0$，$\therefore \frac{x^2+1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
$\therefore \frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$. 故$\frac{x^2}{x^4+1}$的值为$\frac{1}{7}$.
【类比探究】
（1）上题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-1$，求$\frac{x^2}{x^4 -7x^2 +1}$的值.
【拓展延伸】
（2）已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，求$\frac{abc}{ab+bc+ac}$的值.
已知：$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，知$x≠0$，$\therefore \frac{x^2+1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
$\therefore \frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$. 故$\frac{x^2}{x^4+1}$的值为$\frac{1}{7}$.
【类比探究】
（1）上题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-1$，求$\frac{x^2}{x^4 -7x^2 +1}$的值.
【拓展延伸】
（2）已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，求$\frac{abc}{ab+bc+ac}$的值.
答案
解：（1）由$\frac{x}{x^2-3x+1}=-1$，知$x≠0$，$\therefore \frac{x^2-3x+1}{x}=-1$，即$x+\frac{1}{x}=2$，$\therefore \frac{x^4-7x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-7=(x+\frac{1}{x})^2 -2 -7=2^2-2-7=-5$，$\therefore \frac{x^2}{x^4-7x^2+1}=-\frac{1}{5}$。
（2）$\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，
$\therefore 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{31}{90}$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$。$\because \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，
$\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{180}{31}$。
（2）$\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，
$\therefore 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{31}{90}$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$。$\because \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，
$\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{180}{31}$。
解析
【分析】
（1）第一问类比给出的例题使用倒数法求解：首先已知分式分母为二次、分子为一次，且x显然不为0，先对已知条件取倒数，变形得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，将其转化为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的式子，利用完全平方公式把$x^2+\frac{1}{x^2}$变形为$(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入计算后再取倒数即可得到结果。
（2）第二问同样沿用倒数法思路：先观察所求分式的倒数，拆分后恰好是$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的和；把已知的三个等式左右两边分别相加，求出2倍的$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$的值，进而得到三个倒数的和，最后取倒数就能得到所求分式的值。
【解析】
（1）由$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-1$，知$x≠0$，将等式两边取倒数得$\frac{x^2-3x+1}{x}=-1$，化简得$x - 3 + \frac{1}{x}=-1$，即$x+\frac{1}{x}=2$。
对所求分式取倒数得$\frac{x^4-7x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-7$，根据完全平方公式变形得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入$x+\frac{1}{x}=2$得：$2^2-2-7=-5$，故$\frac{x^2}{x^4-7x^2+1}=-\frac{1}{5}$。
（2）将已知的三个等式相加：$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$，左边合并得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$，右边通分计算得$\frac{31}{90}$，因此$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$。
对所求分式取倒数得$\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{31}{180}$，故$\frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{180}{31}$。
【答案】
（1）$-\frac{1}{5}$；（2）$\frac{180}{31}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，分式的加减运算
【点评】
本题重点考查倒数法在分式求值中的应用，渗透了整体代入的数学思想，解题时要注意观察分式的结构特征，通过取倒数将复杂的分式转化为便于利用已知条件计算的形式，降低计算难度。
【难度系数】
0.65
（1）第一问类比给出的例题使用倒数法求解：首先已知分式分母为二次、分子为一次，且x显然不为0，先对已知条件取倒数，变形得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，将其转化为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的式子，利用完全平方公式把$x^2+\frac{1}{x^2}$变形为$(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入计算后再取倒数即可得到结果。
（2）第二问同样沿用倒数法思路：先观察所求分式的倒数，拆分后恰好是$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的和；把已知的三个等式左右两边分别相加，求出2倍的$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$的值，进而得到三个倒数的和，最后取倒数就能得到所求分式的值。
【解析】
（1）由$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-1$，知$x≠0$，将等式两边取倒数得$\frac{x^2-3x+1}{x}=-1$，化简得$x - 3 + \frac{1}{x}=-1$，即$x+\frac{1}{x}=2$。
对所求分式取倒数得$\frac{x^4-7x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-7$，根据完全平方公式变形得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入$x+\frac{1}{x}=2$得：$2^2-2-7=-5$，故$\frac{x^2}{x^4-7x^2+1}=-\frac{1}{5}$。
（2）将已知的三个等式相加：$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}$，左边合并得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$，右边通分计算得$\frac{31}{90}$，因此$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$。
对所求分式取倒数得$\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{31}{180}$，故$\frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{180}{31}$。
【答案】
（1）$-\frac{1}{5}$；（2）$\frac{180}{31}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，分式的加减运算
【点评】
本题重点考查倒数法在分式求值中的应用，渗透了整体代入的数学思想，解题时要注意观察分式的结构特征，通过取倒数将复杂的分式转化为便于利用已知条件计算的形式，降低计算难度。
【难度系数】
0.65
8. (2025·潍坊) 计算$\frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}$的结果是（
A.1
B.-1
C.0
D.$\frac{x+1}{x-1}$
B
）A.1
B.-1
C.0
D.$\frac{x+1}{x-1}$
答案
8. B
解析
【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题时先观察两个分母的特征：$x-1$和$1-x$互为相反数，因此可以先将第二个分式变形，把异分母转化为同分母，再按照同分母分式加减法的法则计算，最后约分得到化简结果即可。
【解析】
解：首先将分母统一为$x-1$，
$\because 1-x=-(x-1)$，
$\therefore$ 原式$=\frac{1}{x-1} + \frac{x}{-(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
根据同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，得：
$=\frac{1 - x}{x - 1}$
将分子提取负号变形：
$=\frac{-(x - 1)}{x - 1}$
当$x≠1$时，约分化简得：
$=-1$
【答案】
B
【知识点】
1.分式的加减法 2.分式的约分 3.相反数的变形
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式向同分母分式的转化，解题时需格外注意分母互为相反数时变形的符号问题，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的加法运算，解题时先观察两个分母的特征：$x-1$和$1-x$互为相反数，因此可以先将第二个分式变形，把异分母转化为同分母，再按照同分母分式加减法的法则计算，最后约分得到化简结果即可。
【解析】
解：首先将分母统一为$x-1$，
$\because 1-x=-(x-1)$，
$\therefore$ 原式$=\frac{1}{x-1} + \frac{x}{-(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
根据同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，得：
$=\frac{1 - x}{x - 1}$
将分子提取负号变形：
$=\frac{-(x - 1)}{x - 1}$
当$x≠1$时，约分化简得：
$=-1$
【答案】
B
【知识点】
1.分式的加减法 2.分式的约分 3.相反数的变形
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式向同分母分式的转化，解题时需格外注意分母互为相反数时变形的符号问题，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
9. (2025·天津) 计算$\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a+1}$的结果等于 (
A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
A
)A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
答案
9. A
解析
【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，找到最简公分母：第一个分母$a^2-1$可利用平方差公式分解为$(a+1)(a-1)$，第二个分母是$a+1$，因此最简公分母为$(a+1)(a-1)$；第二步将异分母分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则计算，最后约分得到最简结果，对应选项即可。
【解析】
首先对第一个分母因式分解：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$。
对第二个分式通分可得：$\frac{1}{a+1}=\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a+1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2+a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件$a+1≠0$，可约去分子分母的公因式$(a+1)$，得结果为$\frac{1}{a-1}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
异分母分式加减，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加法运算规则，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，计算过程中注意约分的前提是公因式不为0，熟练掌握相关运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，找到最简公分母：第一个分母$a^2-1$可利用平方差公式分解为$(a+1)(a-1)$，第二个分母是$a+1$，因此最简公分母为$(a+1)(a-1)$；第二步将异分母分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则计算，最后约分得到最简结果，对应选项即可。
【解析】
首先对第一个分母因式分解：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$。
对第二个分式通分可得：$\frac{1}{a+1}=\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a+1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2+a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件$a+1≠0$，可约去分子分母的公因式$(a+1)$，得结果为$\frac{1}{a-1}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
异分母分式加减，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加法运算规则，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，计算过程中注意约分的前提是公因式不为0，熟练掌握相关运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10. (2025·湖北) 计算$\frac{x^2+2x}{x} - x$的结果是
2
。答案
10. 2
解析
【分析】
本题是分式与整式的减法运算，解题思路如下：第一步先观察分式的分子，可提取公因式x，将分子因式分解后与分母约分，把分式化为整式；第二步再进行整式的减法运算，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
首先明确分式有意义的条件为$x≠0$，对原式逐步化简：
$\begin{aligned}\frac{x^2+2x}{x} - x&=\frac{x(x+2)}{x} - x\\&=x+2 - x\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
分式约分、整式加减、提取公因式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式的化简运算规则，解题关键是先对分式部分约分，将其转化为整式后再计算，计算过程中注意隐含的分母不为0的条件即可。
【难度系数】
0.8
本题是分式与整式的减法运算，解题思路如下：第一步先观察分式的分子，可提取公因式x，将分子因式分解后与分母约分，把分式化为整式；第二步再进行整式的减法运算，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
首先明确分式有意义的条件为$x≠0$，对原式逐步化简：
$\begin{aligned}\frac{x^2+2x}{x} - x&=\frac{x(x+2)}{x} - x\\&=x+2 - x\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
分式约分、整式加减、提取公因式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式的化简运算规则，解题关键是先对分式部分约分，将其转化为整式后再计算，计算过程中注意隐含的分母不为0的条件即可。
【难度系数】
0.8
