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6. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列4组条件:
①$AB=BC=CD=AD$; ②$∠ ABC=∠ BCD,∠ CDA=∠ DAB$; ③$OA=OC$,$OB=OD$,$AC ⊥ BD$; ④$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=90°$。其中,能得到四边形ABCD是菱形的条件有(
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
①$AB=BC=CD=AD$; ②$∠ ABC=∠ BCD,∠ CDA=∠ DAB$; ③$OA=OC$,$OB=OD$,$AC ⊥ BD$; ④$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=90°$。其中,能得到四边形ABCD是菱形的条件有(
B
)。A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
6.B
解析
【分析】
解题时需结合菱形的判定定理，逐一验证每组条件是否能推出四边形ABCD为菱形：首先回忆菱形的三类判定依据：1.四条边相等的四边形是菱形；2.一组邻边相等的平行四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。再逐个分析4组条件，同时注意区分其他特殊四边形的判定条件，避免混淆。
【解析】
对4组条件逐一分析：
① 条件给出四边形ABCD的四条边相等，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可直接判定该四边形是菱形，故①符合要求；
② 由∠ABC=∠BCD，∠CDA=∠DAB，结合四边形内角和为360°，可推出∠DAB+∠ABC=180°，得AD//BC，但该条件也符合等腰梯形的特征（等腰梯形同一底上的两个内角相等），无法判定四边形是平行四边形，更不能判定是菱形，故②不符合要求；
③ 由OA=OC，OB=OD，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先判定四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定该四边形是菱形，故③符合要求；
④ 四个内角均为90°的四边形是矩形，矩形只有当邻边相等时才是菱形，该条件无法判定是菱形，故④不符合要求。
综上，能得到四边形ABCD是菱形的条件有①、③，共2组。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题核心考查特殊四边形的判定，解题关键是准确区分菱形、矩形、等腰梯形等不同特殊四边形的判定条件，注意对角线垂直判定菱形的前提是四边形为平行四边形，避免混淆判定规则导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时需结合菱形的判定定理，逐一验证每组条件是否能推出四边形ABCD为菱形：首先回忆菱形的三类判定依据：1.四条边相等的四边形是菱形；2.一组邻边相等的平行四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。再逐个分析4组条件，同时注意区分其他特殊四边形的判定条件，避免混淆。
【解析】
对4组条件逐一分析：
① 条件给出四边形ABCD的四条边相等，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可直接判定该四边形是菱形，故①符合要求；
② 由∠ABC=∠BCD，∠CDA=∠DAB，结合四边形内角和为360°，可推出∠DAB+∠ABC=180°，得AD//BC，但该条件也符合等腰梯形的特征（等腰梯形同一底上的两个内角相等），无法判定四边形是平行四边形，更不能判定是菱形，故②不符合要求；
③ 由OA=OC，OB=OD，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先判定四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定该四边形是菱形，故③符合要求；
④ 四个内角均为90°的四边形是矩形，矩形只有当邻边相等时才是菱形，该条件无法判定是菱形，故④不符合要求。
综上，能得到四边形ABCD是菱形的条件有①、③，共2组。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题核心考查特殊四边形的判定，解题关键是准确区分菱形、矩形、等腰梯形等不同特殊四边形的判定条件，注意对角线垂直判定菱形的前提是四边形为平行四边形，避免混淆判定规则导致出错。
【难度系数】
0.7
7.如图,两个全等的矩形纸片重叠在一起,矩形的长和宽分别是8和6,则重叠部分的四边形周长是
25
。答案
7.25
解析
【分析】
首先判断重叠部分四边形的形状：两个矩形的对边都互相平行，因此重叠四边形的两组对边分别平行，可判定为平行四边形；再结合两个矩形全等，可知平行四边形邻边上的高相等，根据平行四边形面积公式可推出邻边相等，因此重叠四边形是菱形，四条边长度相等。接下来设菱形边长为x，找到边长为x的边所在的直角三角形，利用勾股定理列方程求解边长，最后乘4即可得到周长。
【解析】
1. 判定重叠四边形的形状：
∵ 两个矩形的对边分别平行，
∴ 重叠部分四边形的两组对边分别平行，即该四边形是平行四边形。
过平行四边形的一个顶点分别向两组对边作高，两条高分别为两个矩形的宽，已知矩形全等，因此两条高长度均为6。
设平行四边形的一组邻边长分别为$a$、$b$，平行四边形面积$S=a×6=b×6$，可得$a=b$，因此该平行四边形是菱形，四条边长度相等。
2. 设菱形的边长为$x$，观察图形可得，边长为$x$的边所在直角三角形中，一条直角边为矩形的宽6，另一条直角边长为$8-x$，根据勾股定理列方程：
$x^2 = 6^2 + (8-x)^2$
展开计算：
$x^2 = 36 + 64 -16x +x^2$
消去$x^2$后整理得：$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$。
3. 菱形周长为$4x=4×\frac{25}{4}=25$。
【答案】
25
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是先判断出重叠部分为菱形，再结合方程思想求解边长，能有效考查学生对几何图形性质的掌握和转化能力。
【难度系数】
0.65
首先判断重叠部分四边形的形状：两个矩形的对边都互相平行，因此重叠四边形的两组对边分别平行，可判定为平行四边形；再结合两个矩形全等，可知平行四边形邻边上的高相等，根据平行四边形面积公式可推出邻边相等，因此重叠四边形是菱形，四条边长度相等。接下来设菱形边长为x，找到边长为x的边所在的直角三角形，利用勾股定理列方程求解边长，最后乘4即可得到周长。
【解析】
1. 判定重叠四边形的形状：
∵ 两个矩形的对边分别平行，
∴ 重叠部分四边形的两组对边分别平行，即该四边形是平行四边形。
过平行四边形的一个顶点分别向两组对边作高，两条高分别为两个矩形的宽，已知矩形全等，因此两条高长度均为6。
设平行四边形的一组邻边长分别为$a$、$b$，平行四边形面积$S=a×6=b×6$，可得$a=b$，因此该平行四边形是菱形，四条边长度相等。
2. 设菱形的边长为$x$，观察图形可得，边长为$x$的边所在直角三角形中，一条直角边为矩形的宽6，另一条直角边长为$8-x$，根据勾股定理列方程：
$x^2 = 6^2 + (8-x)^2$
展开计算：
$x^2 = 36 + 64 -16x +x^2$
消去$x^2$后整理得：$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$。
3. 菱形周长为$4x=4×\frac{25}{4}=25$。
【答案】
25
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是先判断出重叠部分为菱形，再结合方程思想求解边长，能有效考查学生对几何图形性质的掌握和转化能力。
【难度系数】
0.65
8.在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-5,2),B(-2,4),C(1,2),D(-2,0),则四边形ABCD是
菱形
。答案
8.菱形
解析
【分析】
要判断平面直角坐标系中四边形的形状，可先通过两点间距离公式计算四边形各边的长度，再结合特殊四边形的判定定理分析。首先回忆两点间距离公式，依次计算AB、BC、CD、DA四条边的长度，若四条边长度相等，再验证对角线是否相等排除正方形的可能，最终结合菱形的判定定理得出结论。
【解析】
解：根据平面直角坐标系中两点间的距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
1. 计算各边长度：
$AB=\sqrt{(-5+2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
$BC=\sqrt{(-2-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
$CD=\sqrt{(1+2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
$DA=\sqrt{(-2+5)^2+(0-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
可得$AB=BC=CD=DA$，四条边相等的四边形是菱形。
2. 验证排除正方形：
计算对角线长度：$AC=\sqrt{(-5-1)^2+(2-2)^2}=6$，$BD=\sqrt{(-2+2)^2+(4-0)^2}=4$，$AC≠ BD$，故该四边形不是正方形。
综上，四边形ABCD是菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 菱形的判定定理
3. 平面直角坐标系的应用
【点评】
本题属于基础类几何题型，核心是结合坐标计算线段长度，再匹配特殊四边形的判定条件得出结果，计算时需注意坐标符号的处理，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.7
要判断平面直角坐标系中四边形的形状，可先通过两点间距离公式计算四边形各边的长度，再结合特殊四边形的判定定理分析。首先回忆两点间距离公式，依次计算AB、BC、CD、DA四条边的长度，若四条边长度相等，再验证对角线是否相等排除正方形的可能，最终结合菱形的判定定理得出结论。
【解析】
解：根据平面直角坐标系中两点间的距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
1. 计算各边长度：
$AB=\sqrt{(-5+2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
$BC=\sqrt{(-2-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
$CD=\sqrt{(1+2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
$DA=\sqrt{(-2+5)^2+(0-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
可得$AB=BC=CD=DA$，四条边相等的四边形是菱形。
2. 验证排除正方形：
计算对角线长度：$AC=\sqrt{(-5-1)^2+(2-2)^2}=6$，$BD=\sqrt{(-2+2)^2+(4-0)^2}=4$，$AC≠ BD$，故该四边形不是正方形。
综上，四边形ABCD是菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 菱形的判定定理
3. 平面直角坐标系的应用
【点评】
本题属于基础类几何题型，核心是结合坐标计算线段长度，再匹配特殊四边形的判定条件得出结果，计算时需注意坐标符号的处理，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.7
9.阅读下面的材料:
如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线AE与BC相交于点E,$∠ ABC$的平分线BF与AD相交于点F,AE与BF相交于点O,连接EF。求证:四边形ABEF是菱形。
证明:①∵四边形ABCD是平行四边形,
②∴AD//BC。
③∴∠ABE+∠BAF=180°。
④∵AE,BF分别平分∠BAF,∠ABE,
⑤∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAF,∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ABE。
⑥∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$(∠BAF+∠ABE)=90°。
⑦∴∠AOB=90°。
⑧∴AE⊥BF。
⑨∴四边形ABEF是菱形。
根据上述材料,回答下面的问题。
上述证明过程是否正确?如不正确,在第
如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线AE与BC相交于点E,$∠ ABC$的平分线BF与AD相交于点F,AE与BF相交于点O,连接EF。求证:四边形ABEF是菱形。
证明:①∵四边形ABCD是平行四边形,
②∴AD//BC。
③∴∠ABE+∠BAF=180°。
④∵AE,BF分别平分∠BAF,∠ABE,
⑤∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAF,∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ABE。
⑥∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$(∠BAF+∠ABE)=90°。
⑦∴∠AOB=90°。
⑧∴AE⊥BF。
⑨∴四边形ABEF是菱形。
根据上述材料,回答下面的问题。
上述证明过程是否正确?如不正确,在第
⑨
步推理出现错误,应在第⑧
步后添加如下证明过程:答案
9. 解:不正确 ⑨ ⑧
添加的证明过程如下：
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠2。
又
∵∠1=∠2,
∴∠AEB=∠1，
∴BA=BE。
同理AB=AF。
∴BE=AF。
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形。
添加的证明过程如下：
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠2。
又
∵∠1=∠2,
∴∠AEB=∠1，
∴BA=BE。
同理AB=AF。
∴BE=AF。
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形。
解析
【分析】
要判断证明过程是否正确，需结合菱形的判定定理分析：菱形的判定要求要么先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等或对角线互相垂直，要么直接证明四条边都相等。原证明仅推出AE⊥BF，没有先证明四边形ABEF是平行四边形，就直接判定其为菱形，不符合判定定理的要求，因此推理错误。我们需要在得到AE⊥BF之后，补充证明四边形ABEF是平行四边形的步骤，再结合对角线垂直的条件即可完成菱形的判定。
【解析】
原证明过程不正确。
错误原因：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，原证明未证明四边形ABEF是平行四边形，直接由AE⊥BF判定其为菱形，逻辑不成立，因此第⑨步推理错误。
应在第⑧步后添加证明四边形ABEF是平行四边形的过程：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠2，
又
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠1，
∴BA=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
后续结合AE⊥BF，即可判定平行四边形ABEF是菱形。
【答案】
不正确；⑨；⑧
添加的证明过程如下：
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠2。
又
∵∠1=∠2,
∴∠AEB=∠1，
∴BA=BE。
同理AB=AF。
∴BE=AF。
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于特殊四边形判定的概念辨析题，主要考查对菱形判定定理的理解和应用，易错点是忽略菱形判定定理中“平行四边形”的前提条件，通过本题可加深对特殊四边形判定逻辑的掌握。
【难度系数】
0.7
要判断证明过程是否正确，需结合菱形的判定定理分析：菱形的判定要求要么先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等或对角线互相垂直，要么直接证明四条边都相等。原证明仅推出AE⊥BF，没有先证明四边形ABEF是平行四边形，就直接判定其为菱形，不符合判定定理的要求，因此推理错误。我们需要在得到AE⊥BF之后，补充证明四边形ABEF是平行四边形的步骤，再结合对角线垂直的条件即可完成菱形的判定。
【解析】
原证明过程不正确。
错误原因：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，原证明未证明四边形ABEF是平行四边形，直接由AE⊥BF判定其为菱形，逻辑不成立，因此第⑨步推理错误。
应在第⑧步后添加证明四边形ABEF是平行四边形的过程：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠2，
又
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠1，
∴BA=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
后续结合AE⊥BF，即可判定平行四边形ABEF是菱形。
【答案】
不正确；⑨；⑧
添加的证明过程如下：
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠2。
又
∵∠1=∠2,
∴∠AEB=∠1，
∴BA=BE。
同理AB=AF。
∴BE=AF。
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于特殊四边形判定的概念辨析题，主要考查对菱形判定定理的理解和应用，易错点是忽略菱形判定定理中“平行四边形”的前提条件，通过本题可加深对特殊四边形判定逻辑的掌握。
【难度系数】
0.7
