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6. 如图，已知$△ ABC$，$P$为边$AB$上一点。请用直尺和圆规在边$AC$上作一点$E$，使$AE+EP=AC$。（保留作图痕迹，不写作法）
答案
6. 如图,连结 PC,作线段 PC 的垂直平分线,交 AC 于点 E,E为所求作的点。
解析
【分析】
要满足AE+EP=AC，首先观察线段AC的组成：AC=AE+EC，将两个式子对比可推出需要满足EP=EC。根据线段垂直平分线的判定，到P、C两点距离相等的点在线段PC的垂直平分线上，结合点E需在AC上的要求，只要作出PC的垂直平分线，它与AC的交点即为所求的点E。
【解析】
1. 推导等量关系：由线段和的定义可知AC=AE+EC，结合题目要求AE+EP=AC，可得出EP=EC。
2. 确定点E的位置：根据线段垂直平分线的判定，到点P、C距离相等的点在线段PC的垂直平分线上，因此线段PC的垂直平分线与AC的交点即为满足条件的E。
3. 尺规作图：连接PC，用圆规分别以P、C为圆心，大于$\frac{1}{2}PC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，该直线与AC的交点即为所求的E。
【答案】
如图,连结 PC,作线段 PC 的垂直平分线,交 AC 于点 E,E为所求作的点。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图、等量代换
【点评】
本题将代数等量转化和几何性质应用相结合，解题关键是通过等式变形推导出EP=EC的核心结论，再结合线段垂直平分线的判定确定作图方法，既考查了逻辑推理能力，也考查了尺规作图的动手操作能力。
【难度系数】
0.7
要满足AE+EP=AC，首先观察线段AC的组成：AC=AE+EC，将两个式子对比可推出需要满足EP=EC。根据线段垂直平分线的判定，到P、C两点距离相等的点在线段PC的垂直平分线上，结合点E需在AC上的要求，只要作出PC的垂直平分线，它与AC的交点即为所求的点E。
【解析】
1. 推导等量关系：由线段和的定义可知AC=AE+EC，结合题目要求AE+EP=AC，可得出EP=EC。
2. 确定点E的位置：根据线段垂直平分线的判定，到点P、C距离相等的点在线段PC的垂直平分线上，因此线段PC的垂直平分线与AC的交点即为满足条件的E。
3. 尺规作图：连接PC，用圆规分别以P、C为圆心，大于$\frac{1}{2}PC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，该直线与AC的交点即为所求的E。
【答案】
如图,连结 PC,作线段 PC 的垂直平分线,交 AC 于点 E,E为所求作的点。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图、等量代换
【点评】
本题将代数等量转化和几何性质应用相结合，解题关键是通过等式变形推导出EP=EC的核心结论，再结合线段垂直平分线的判定确定作图方法，既考查了逻辑推理能力，也考查了尺规作图的动手操作能力。
【难度系数】
0.7
7. （多选题）若直线PE是线段AB的垂直平分线，则下列说法一定正确的是（
A.$EA=EB, PA=PB$
B.$∠ PAE=∠ PBE$
C.$∠ APE=∠ BPE$
D.$∠ APB=∠ AEB$
ABC
）。A.$EA=EB, PA=PB$
B.$∠ PAE=∠ PBE$
C.$∠ APE=∠ BPE$
D.$∠ APB=∠ AEB$
答案
7. ABC
解析
【分析】
解决本题首先要明确线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。解题思路可分为三步：第一步，先利用垂直平分线的性质判断边的等量关系，验证A选项；第二步，通过三边相等的判定定理证明对应三角形全等，推导对应角相等，验证B、C选项；第三步，分析D选项中两个角的顶点位置无固定限制，判断该结论不一定成立。
【解析】
∵直线PE是线段AB的垂直平分线
∴点P、点E都在AB的垂直平分线上
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$PA=PB$，$EA=EB$，故A选项正确。
在$△ PAE$和$△ PBE$中：
$\begin{cases}PA=PB \\EA=EB \\PE=PE\end{cases}$
∴$△ PAE ≌ △ PBE$（SSS）
∴对应角相等，即$∠ PAE=∠ PBE$，$∠ APE=∠ BPE$，故B、C选项正确。
对于D选项：$∠ APB$的顶点为P，$∠ AEB$的顶点为E，P、E是直线PE上的任意两点，二者相对于AB的位置没有固定约束，比如P、E分别在AB的两侧时，$∠ APB$与$∠ AEB$不一定相等，故D选项不一定正确。
【答案】
ABC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考察线段垂直平分线性质的应用，解题时要先通过性质得到边的等量关系，再结合全等三角形的知识推导角的关系，同时要注意未明确点的相对位置时，不能默认角相等，需严谨推导每个结论是否必然成立。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。解题思路可分为三步：第一步，先利用垂直平分线的性质判断边的等量关系，验证A选项；第二步，通过三边相等的判定定理证明对应三角形全等，推导对应角相等，验证B、C选项；第三步，分析D选项中两个角的顶点位置无固定限制，判断该结论不一定成立。
【解析】
∵直线PE是线段AB的垂直平分线
∴点P、点E都在AB的垂直平分线上
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$PA=PB$，$EA=EB$，故A选项正确。
在$△ PAE$和$△ PBE$中：
$\begin{cases}PA=PB \\EA=EB \\PE=PE\end{cases}$
∴$△ PAE ≌ △ PBE$（SSS）
∴对应角相等，即$∠ PAE=∠ PBE$，$∠ APE=∠ BPE$，故B、C选项正确。
对于D选项：$∠ APB$的顶点为P，$∠ AEB$的顶点为E，P、E是直线PE上的任意两点，二者相对于AB的位置没有固定约束，比如P、E分别在AB的两侧时，$∠ APB$与$∠ AEB$不一定相等，故D选项不一定正确。
【答案】
ABC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考察线段垂直平分线性质的应用，解题时要先通过性质得到边的等量关系，再结合全等三角形的知识推导角的关系，同时要注意未明确点的相对位置时，不能默认角相等，需严谨推导每个结论是否必然成立。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N。已知△ABC与△BCM的周长分别为22 cm和14 cm,求CN的长。
答案
8. 由题意得 MA=MC,AN=CN。因为△ABC 的周长=AC+BC+AB=22 (cm),△BCM 的周长=CM+BC+BM=MA+BM+BC=BC+AB=14 (cm),所以 AC=8 (cm),所以 $CN=\frac{1}{2}AC=4(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“MN是AC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的交点是线段中点，由此可得MA=MC、AN=CN。接下来对比两个三角形的周长组成：△ABC的周长为AB+BC+AC，△BCM的周长为BC+CM+BM，将CM替换为相等的MA后，△BCM的周长可转化为BC+AB，两个周长的差值就是AC的长度，最后结合CN是AC的一半即可求出结果。
【解析】
解：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴MA=MC，AN=CN。
△ABC的周长：$AC+BC+AB=22\ \mathrm{cm}$，
△BCM的周长：$CM+BC+BM=MA+BM+BC=AB+BC=14\ \mathrm{cm}$，
将$AB+BC=14\ \mathrm{cm}$代入△ABC的周长公式，可得：
$AC=22-14=8\ \mathrm{cm}$，
又
∵$CN=\frac{1}{2}AC$，
∴$CN=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型基础应用题，解题关键是通过性质对周长中的线段进行等量代换，消去公共的线段和后快速求出未知线段长度，属于几何部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“MN是AC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的交点是线段中点，由此可得MA=MC、AN=CN。接下来对比两个三角形的周长组成：△ABC的周长为AB+BC+AC，△BCM的周长为BC+CM+BM，将CM替换为相等的MA后，△BCM的周长可转化为BC+AB，两个周长的差值就是AC的长度，最后结合CN是AC的一半即可求出结果。
【解析】
解：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴MA=MC，AN=CN。
△ABC的周长：$AC+BC+AB=22\ \mathrm{cm}$，
△BCM的周长：$CM+BC+BM=MA+BM+BC=AB+BC=14\ \mathrm{cm}$，
将$AB+BC=14\ \mathrm{cm}$代入△ABC的周长公式，可得：
$AC=22-14=8\ \mathrm{cm}$，
又
∵$CN=\frac{1}{2}AC$，
∴$CN=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型基础应用题，解题关键是通过性质对周长中的线段进行等量代换，消去公共的线段和后快速求出未知线段长度，属于几何部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=5$。直线$m$是$BC$边的垂直平分线，$P$是直线$m$上的一动点，求$△ ACP$的周长的最小值。
答案
9. 连结 BP。因为直线 m 是△ABC 中 BC 边的垂直平分线,所以 BP=CP,所以△ACP 的周长=AP+PC+AC=BP+AP+AC≥AB+AC。所以当 A,B,P 三点共线时,△ACP 的周长最小,即△ACP 的周长的最小值为 AB+AC=11。
解析
【分析】
要计算△ACP周长的最小值，首先明确△ACP的周长=AP+PC+AC，其中AC的长度是定值5，因此只需让AP+PC的取值最小即可。已知直线m是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，可得PC=PB，因此可将AP+PC转化为AP+PB。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB的最小值等于AB的长度，此时△ACP的周长最小。
【解析】
解：连接BP，
∵直线m是BC边的垂直平分线，点P在直线m上，
∴BP=CP（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
△ACP的周长=AP+PC+AC=AP+BP+AC，
∵AC=5是定值，根据两点之间线段最短，AP+BP≥AB，
∴当A、B、P三点共线时，AP+BP取得最小值，最小值为AB的长度6，
此时△ACP的周长最小值为AB+AC=6+5=11。
【答案】
11
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题是线段垂直平分线性质与最短路径结合的典型题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质将待求的两条动线段之和进行等量转化，再结合两点之间线段最短的原理确定最小值的情况，熟练掌握转化思想能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
要计算△ACP周长的最小值，首先明确△ACP的周长=AP+PC+AC，其中AC的长度是定值5，因此只需让AP+PC的取值最小即可。已知直线m是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，可得PC=PB，因此可将AP+PC转化为AP+PB。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB的最小值等于AB的长度，此时△ACP的周长最小。
【解析】
解：连接BP，
∵直线m是BC边的垂直平分线，点P在直线m上，
∴BP=CP（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
△ACP的周长=AP+PC+AC=AP+BP+AC，
∵AC=5是定值，根据两点之间线段最短，AP+BP≥AB，
∴当A、B、P三点共线时，AP+BP取得最小值，最小值为AB的长度6，
此时△ACP的周长最小值为AB+AC=6+5=11。
【答案】
11
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题是线段垂直平分线性质与最短路径结合的典型题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质将待求的两条动线段之和进行等量转化，再结合两点之间线段最短的原理确定最小值的情况，熟练掌握转化思想能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
