1. 母题[2025 南京上元中学月考]如图，$△ ABC$为等腰三角形，$AB = AC$，$O$是$BC$的中点，$\odot O$与$AB$相切于点$D$. 求证：$AC$与$\odot O$相切.

1 证明:如图,连接OD,过点O作$OE⊥AC$于点E.
$\because AB$切$\odot O$于点D,$\therefore OD⊥AB,$
$\therefore ∠ODB=∠OEC=90°.$
$\because O$是BC的中点,$\therefore OB=OC.$
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C.$
在$△OBD$和$△OCE$中,$\begin{cases} ∠ODB=∠OEC, \\ ∠B=∠C, \\ OB=OC, \end{cases}$
$\therefore △OBD≌ △OCE,$
$\therefore OD=OE$,即OE是$\odot O$的半径,
$\therefore AC$与$\odot O$相切.

2. 交换结论与条件 如图，$△ ABC$为等腰三角形，O是BC上一点，腰AB，AC与$\odot O$分别相切于点D，E. 求证:O是底边BC的中点.

2 证明:如图,连接OA,OD,OE.
$\because$ 腰AB,AC与$\odot O$分别相切于点D,E,
$\therefore OD=OE,OD⊥AB,OE⊥AC,\therefore AO$平分$∠BAC.$
又$\because △ABC$为等腰三角形,$\therefore O$是底边BC的中点.

3. ▶等腰三角形内嵌 [2026南京鼓楼区一模] 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$CD$是$\odot O$的切线，且$AC=BC$，连接$AD$交$\odot O$于点$E$。
(1)求证:$CD // AB$。
(2)连接$BE$，若$BE$为直径，$BC=3\sqrt{10}$，$AE=8$，求$\odot O$的半径。

定与性质
4. ▶等腰三角形外嵌 [2025盐城一模] 如图，在

3 (1)证明:如图1,连接CO并延长交AB于点F,连接OA,OB.
$\because CA=CB,OA=OB,\therefore$ 点C,O在线段AB的垂直平分线上.
$\therefore CF$垂直平分AB,$\therefore CF⊥AB,\therefore ∠BFC=90°.$
$\because CD$是$\odot O$的切线,$\therefore CF⊥CD,\therefore ∠FCD=90°.$
$\therefore ∠BFC=∠FCD,\therefore CD// AB.$
(2)解:如图2,连接CO并延长,交AB于点F,设$\odot O$的半径为r.
同理(1)知$CF⊥AB,\therefore BF=FA.$
$\because BE$是直径,$\therefore BO=OE,$
$\therefore OF$是$△BAE$的中位线,$\therefore OF=\frac{1}{2}AE=4.$
在$Rt△OFB$中,由勾股定理得$BF^2=OB^2-OF^2=r^2-4^2.$
在$Rt△CFB$中,$BF^2=BC^2-CF^2=(3\sqrt{10})^2-(r+4)^2.$
$\therefore r^2-4^2=(3\sqrt{10})^2-(r+4)^2.$
解得$r_1=5,r_2=-9$(舍去).
$\therefore \odot O$的半径为5.

Rt△ABC中，∠ACB = 90°, D为边AC上的点,以AD为直径作⊙O交AB于点F,连接BD并延长交⊙O于点E,连接CE,CE=BC.
(1)求证:CE是⊙O的切线.
(2)若CD=1,BC=3,求点D到AB的距离.

4 (1)证明:如图,连接OE.
$\because OD=OE,\therefore ∠OED=∠ODE.$
$\because ∠BDC=∠ODE,\therefore ∠BDC=∠OED.$
$\because ∠ACB=90°,\therefore ∠CBE+∠BDC=90°.$
$\because CE=BC,\therefore ∠CBE=∠CEB,$
$\therefore ∠CBE+∠BDC=∠CEB+∠OED,$
$\therefore ∠CEB+∠OED=90°$,即$∠OEC=90°.$
$\therefore OE⊥CE,\therefore CE$是$\odot O$的切线.
(2)解:如图,连接DF.
设$\odot O$的半径为r,则$OD=OE=r,OC=OD+CD=r+1.$
在$Rt△OCE$中,由勾股定理得$OE^2+CE^2=OC^2.$
$\because BC=CE=3,\therefore r^2+3^2=(r+1)^2$,解得$r=4.$
$\therefore AD=8,AC=9.$
在$Rt△ACB$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}.$
$\because AD$为$\odot O$的直径,$\therefore DF⊥AB.$
$\because S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BDC},$
$\therefore \frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·DF+\frac{1}{2}CD·BC,$
即$\frac{1}{2}×9×3=\frac{1}{2}×3\sqrt{10}·DF+\frac{1}{2}×1×3.$
解得$DF=\frac{4}{5}\sqrt{10}$,即点D到AB的距离为$\frac{4}{5}\sqrt{10}.$

5. 构造等腰三角形 [2025 宿迁宿城区期中] 如图，AB为$\odot O$的直径，点 C, E 都在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，CE 交 OB 于点 D，点 F 在 AB 的延长线上，且 DF = FE.
(1)求证: EF 为$\odot O$的切线.
(2)若 OD = 2 且 BF = BD, 求$\odot O$的半径.

5 (1)证明:连接OE.
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠BOC=90°,$
$\therefore ∠OCD+∠ODC=90°.$
$\because OC=OE,\therefore ∠OED=∠OCD.$
又$\because DF=FE,\therefore ∠FDE=∠FED.$
$\because ∠FDE=∠ODC,\therefore ∠FED=∠ODC,$
$\therefore ∠FED+∠OED=∠ODC+∠OCD=90°$,即$EF⊥OE,$
又$\because OE$是$\odot O$的半径,$\therefore EF$是$\odot O$的切线.
(2)解:设$\odot O$的半径为r,则$OE=OB=r,$
$\therefore BD=r-OD=r-2.$
$\because BF=BD,\therefore DF=2r-4,\therefore OF=2r-2.$
$\because DF=FE,\therefore FE=2r-4.$
在$Rt△OEF$中,$OE^2+FE^2=OF^2,$
$\therefore r^2+(2r-4)^2=(2r-2)^2,$
解得$r_1=6,r_2=2$(不符合题意,舍去),
即$\odot O$的半径为6.