1 下列由黑、白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的为（）

1. D

【分析】首先明确轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。接下来逐一分析四个选项，判断是否存在这样的直线使图形对折后两侧完全重合。
【解析】根据轴对称图形的定义，对各选项进行判断：
1. 选项A：无论选择哪条直线对折，图形两侧的黑、白棋子都无法完全重合，不是轴对称图形；
2. 选项B：不存在能使图形对折后两侧重合的直线，不是轴对称图形；
3. 选项C：同样没有符合条件的对称轴，对折后两侧不重合，不是轴对称图形；
4. 选项D：沿图形中间的竖直线对折，直线左右两侧的黑、白棋子完全重合，符合轴对称图形的特征。
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【点评】本题考查轴对称图形的识别，核心是掌握轴对称图形的定义，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

2 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB$ 的垂直平分线 $MN$ 分别交 $AC,AB$ 于点 $D,E$. 若$∠ CBD:$ $∠ DBA=2:1$,则$∠ A$ 的度数为（）

A.$20°$
B.$25°$
C.$22.5°$
D.$30°$

2. C

【分析】
首先，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得点D在AB的垂直平分线上，故AD=BD，进而推出∠A=∠DBA。再结合题目给出的∠CBD与∠DBA的比例关系，设未知数表示各角，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，列出方程求解∠A的度数。
【解析】
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，根据等边对等角，得∠A=∠DBA。
设∠DBA=x，由∠CBD:∠DBA=2:1，可知∠CBD=2x，
∴ ∠ABC=∠DBA + ∠CBD =x + 2x=3x。
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余，得∠A + ∠ABC=90°，
即x + 3x=90°，解得4x=90°，x=22.5°，
∴ ∠A=22.5°。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、直角三角形性质
【点评】
本题结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的角度关系进行考查，核心是利用垂直平分线得到等角，再通过角度比例关系列方程求解，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6

3 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,直线$BD$交$AC$于点$D$,把直角三角形沿着$BD$所在的直线翻折,使点$C$落在斜边$AB$上的点$C'$处.若$AD=BD$,则$∠ A$的度数为（）

A.$60^{ \circ }$
B.$45^{ \circ }$
C.$30^{ \circ }$
D.$22.5^{ \circ }$

3. C 【解析】由翻折,知$∠ CBD = ∠ C' BD. \because AD = BD$,
$\therefore ∠ A = ∠ C' BD. \therefore ∠ A = ∠ C' BD = ∠ CBD. \because ∠ A + ∠ C + ∠ C' BD + ∠ CBD = 180°,∠ C = 90°,\therefore 3∠ A = 90°. \therefore ∠ A = 30°.$

【分析】
要解决这道题，需结合翻折变换的性质和等腰三角形的性质推导角的关系：首先利用翻折后对应角相等，得到∠CBD=∠C'BD；再由AD=BD，根据等腰三角形等边对等角，得出∠A=∠C'BD；进而得到三个角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
根据翻折变换的性质，可知：$∠ CBD = ∠ C'BD$。
因为$AD = BD$，所以$△ ABD$是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，得：$∠ A = ∠ C'BD$。
因此，$∠ A = ∠ C'BD = ∠ CBD$，即$∠ ABC = ∠ CBD + ∠ C'BD = 2∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据直角三角形两锐角互余，得：$∠ A + ∠ ABC = 90°$。
将$∠ ABC = 2∠ A$代入上式，得：$∠ A + 2∠ A = 90°$，即$3∠ A = 90°$，解得$∠ A = 30°$。
【答案】
C
【知识点】
翻折的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题结合翻折变换与等腰三角形的性质，通过角的等量代换，利用直角三角形的性质求解角度，属于基础几何题，重点考查学生对图形变换性质的掌握和角的关系推导能力。
【难度系数】
0.6

4 如图,在等腰三角形 A B C 中,$∠ CAB=120°,AD ⊥ BC$于点 D,$DE ⊥ AB$于点 E.若$AD=2$,则$BE$的长为（）

A.2
B.3
C.4
D.6

4. B

【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形的性质和直角三角形中30°角的性质逐步推导：首先根据等腰三角形顶角的度数求出底角∠B的度数；再利用等腰三角形三线合一的性质，得到AD平分顶角∠CAB，进而求出∠DAB的度数；接着在两个直角三角形（△ADE和△ADB）中，利用30°角对应的直角边与斜边的关系，分别求出AE和AB的长度，最终计算出BE的长度。
【解析】
1. 因为△ABC是等腰三角形，∠CAB=120°，根据三角形内角和为180°，底角∠B=(180°-∠CAB)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
2. 因为AD⊥BC，等腰三角形三线合一，所以AD平分∠CAB，因此∠DAB=∠CAB÷2=120°÷2=60°。
3. 因为DE⊥AB，所以△ADE是直角三角形，在Rt△ADE中，∠DAE=60°，则∠ADE=30°，根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，得AE=AD÷2=2÷2=1。
4. 在Rt△ADB中，∠B=30°，AD=2，同理可得AB=2AD=2×2=4。
5. 因此BE=AB - AE=4 -1=3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形30°角的性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形三线合一性质和直角三角形的特殊边角关系，解题关键是逐步推导角度并利用直角三角形的边的关系计算，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.5

5 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，点 $B,C,D,E$ 在同一条直线上，且 $CG=CD$，$DF=DE$，则 $∠ E$ 的度数为（）

A.$25°$
B.$20°$
C.$15°$
D.$7.5°$

5. C

【分析】
要解决本题，需结合等边三角形、等腰三角形的性质，利用邻补角的角度关系逐步推导。首先由等边三角形的性质得到∠ACB的度数，进而求出∠ACD；再根据CG=CD，利用等腰三角形内角和求出∠CDG；接着求出∠FDE；最后由DF=DE，再次用等腰三角形内角和算出∠E的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−60°=120°，
∵CG=CD，
∴△CGD为等腰三角形，
∴∠CDG=(180°−∠ACD)÷2=(180°−120°)÷2=30°，
∴∠FDE=180°−∠CDG=180°−30°=150°，
∵DF=DE，
∴△DFE为等腰三角形，
∴∠E=(180°−∠FDE)÷2=(180°−150°)÷2=15°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质、等腰三角形性质、邻补角计算
【点评】
本题综合考查等边三角形和等腰三角形的角度性质，核心是利用“等边对等角”和三角形内角和定理，理清各角的邻补关系即可求解，属于基础几何角度题。
【难度系数】
0.5

6 [2025 崇川期末]如图,在$△ ABC$中,$BD$平分$∠ ABC$,$BC$的垂直平分线交$BC$于点$E$,交$BD$于点$F$,连接$CF$.若$∠ A=60°$,$∠ ABD=24°$,则$∠ ACF$的度数为（）

A.$24°$
B.$30$
C.$36°$
D.$48°$

6. D

【分析】
要解决这道题，需逐步利用角平分线性质、垂直平分线性质和三角形内角和定理：首先由BD是角平分线得∠DBC=∠ABD，算出∠ABC；再用三角形内角和求∠ACB；接着根据BC的垂直平分线得FB=FC，推出∠FCB=∠FBC；最后用∠ACB减去∠FCB得到∠ACF的度数。
【解析】
1. 因为BD平分∠ABC，所以∠DBC=∠ABD=24°，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=24°+24°=48°。
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=60°，∠ABC=48°，因此∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-48°=72°。
3. 因为EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以FB=FC，故∠FCB=∠FBC=24°。
4. 所以∠ACF=∠ACB - ∠FCB=72°-24°=48°。
【答案】48°
【知识点】角平分线性质、垂直平分线性质、三角形内角和定理
【点评】本题综合考查了几何中角平分线、垂直平分线的性质及三角形内角和的应用，解题关键是利用垂直平分线构造等腰三角形，结合角平分线和内角和计算角度，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】0.5

7 已知点$P(a,b)$的坐标满足$(a+2)^{2}+|b-1|=0$，则点$P$关于$y$轴的对称点$P'$在第象限.

7. 一

【分析】要解决这道题，需分三步思考：首先利用非负数的性质求出点P的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标规律得到P'的坐标，最后根据坐标判断所在象限。核心思路是：1. 平方数和绝对值均为非负数，它们的和为0时，每个非负数都为0，据此算出a、b的值；2. 牢记关于y轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数），推导P'的坐标；3. 依据象限的坐标特点（第一象限横、纵坐标均为正）判断P'所在象限。
【解析】解：因为平方数和绝对值都是非负数，即$(a+2)^2 ≥ 0$，$|b-1| ≥ 0$，且两者的和为0，所以：
$a+2=0$，解得$a=-2$；
$b-1=0$，解得$b=1$；
因此点P的坐标为$(-2,1)$。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数，可得点P关于y轴的对称点P'的坐标为$(2,1)$。
由于第一象限内点的坐标特征是横坐标为正、纵坐标为正，所以点P'在第一象限。
【答案】一
【知识点】非负数的性质；关于y轴对称的点的坐标；象限的判断
【点评】本题是基础题型，综合考查非负数性质、对称点坐标规律和象限判断，解题关键是掌握非负数和为0的条件及对称点的坐标特征，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8

8 在等腰三角形$ABC$中,底角$∠ B=15^{ \circ }$,腰长为$30\ {cm}$,则腰$AB$上的高为${cm}$.

8. 15

【分析】首先根据等腰三角形两底角相等求出顶角的度数，再判断腰AB上的高的位置（因顶角为钝角，高在腰的延长线上），最后利用直角三角形中30°角的性质计算高的长度。
【解析】在等腰△ABC中，∠B=∠ACB=15°，则顶角∠BAC=180°-15°×2=150°。延长BA，过点C作CD⊥BA于点D，CD即为腰AB上的高，此时∠CAD=180°-150°=30°。在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=30cm，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得CD=½AC=½×30=15cm。
【答案】15
【知识点】等腰三角形性质、直角三角形性质
【点评】本题结合等腰三角形与直角三角形的性质求解，关键是确定高的位置，利用特殊角的性质简化计算，属于基础几何题。
【难度系数】0.5

9 [2025 海安期末改编]如图,A,B 两点分别在直线$l_{1},l_{2}$上,且$l_{1}// l_{2},BA = BC,BC⊥ l_{2}$.若$∠ 1 = 124°$,则$∠ CAB$的度数是.

9. $34°$

【分析】要解决本题，需结合平行线的性质、垂直的性质以及等腰三角形的性质逐步推导。首先，由平行线和垂直的关系得到相关直角，再利用平行线的角度关系求出∠ACB，最后根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠CAB的度数。
【解析】因为$l_{1}// l_{2}$，且$BC⊥ l_{2}$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条”，可得$BC⊥ l_{1}$，因此$∠ CBl_{2}=90°$。又因为$l_{1}// l_{2}$，根据“两直线平行，同位角相等”，可知$∠ 1 = ∠ ACB + ∠ CBl_{2}$，代入$∠ 1=124°$，得$∠ ACB=124° -90°=34°$。由于$BA=BC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，根据“等边对等角”，可得$∠ CAB=∠ ACB=34°$。
【答案】$34°$
【知识点】平行线性质，等腰三角形性质，垂直的性质
【点评】本题综合考查平行线、等腰三角形的角度计算，关键是理清角度间的等量关系，难度适中。
【难度系数】0.5