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1. (2025 南京市期末)记 $a · b$ 是两个实数 $a$与 $b$ 的一种运算. 已知 $a · 0 = 1 - a$, 函数$y = m · (x + 1)(m ≠ 1)$ 为正比例函数, 则$4 · 5$ 的值为（
A.12
B.16
C.20
D.24
A
）A.12
B.16
C.20
D.24
答案
1. A 提示: 因为 $y=m · (x+1)(m ≠ 1)$ 为正比例函数,所以设 $y=m · (x+1)=kx$. 因为 $a · 0=1-a$,所以只需令 $m · (x+1)=kx$ 中 $x=-1$ 即可,即 $m · (-1+1)=m · 0=1-m=-k$, 所以 $k=m-1$. 所以 $y=m · (x+1)=(m-1)x$. 当 $m=4,x=4$ 时, $4 · 5=4 · (4+1)=(4-1)×4=12$.
2. 如果 $y$ 是 $x$ 的正比例函数, $x$ 是 $z$ 的一次函数,那么 $y$ 是 $z$ 的（
A.正比例函数
B.一次函数
C.其他函数
D.不构成函数关系
B
）A.正比例函数
B.一次函数
C.其他函数
D.不构成函数关系
答案
2. B 提示: 由题意,得 $y=k_1x(k_1≠0),x=k_2z+b(k_2≠0)$, 则 $y=k_1(k_2z+b)=k_1k_2z+k_1b$. 所以当 $b≠0$ 时, $y$ 是 $z$ 的一次函数; 当 $b=0$ 时, $y$ 是 $z$ 的正比例函数.
3.（2025 南通市启东市期末）图 1 是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图 1 所示，小明用 $x$ 个这样的图形，按照如图 2 所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，则图形的总长度 $y$ 与图形个数 $x$ 之间的函数表达式为
$y=6x+4$
.答案
3. $y=6x+4$
4. 现有下列函数：①$y=\dfrac{x}{3}$；②$y=x^{2}-2x$；③$y=-5x$；④$y=-3x-\sqrt{5}$；⑤$y=\sqrt{2}x-1$.其中是正比例函数的有
①③
，是一次函数的有①③④⑤
（填序号）.答案
4. ①③ ①③④⑤
5. 定义$[p , q]$为一次函数$y = px + q$的“特征数”. 若“特征数”为$[t , t+3]$的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为
$y=-3x$
.答案
5. $y=-3x$ 提示: 根据题意,得“特征数”为$[t,t+3]$的一次函数为 $y=tx+t+3$. 因为此一次函数为正比例函数,所以 $t+3=0$, 解得 $t=-3$. 所以这个正比例函数为 $y=-3x$.
6. 已知函数 $y=(m+1)x^{2-|m|}+n+4.$
（1）当 m ,n 取何值时,y 是 x 的一次函数?
（2）当 m ,n 取何值时,y 是 x 的正比例函数?
（1）当 m ,n 取何值时,y 是 x 的一次函数?
（2）当 m ,n 取何值时,y 是 x 的正比例函数?
答案
6. 解:(1) 根据一次函数的定义,得 $2-|m|=1$,且 $m+1≠0$,解得 $m=1$. 所以当 $m=1$,n 为任意实数时,y 是x 的一次函数.
(2) 根据正比例函数的定义,得 $2-|m|=1$,$m+1≠0$,$n+4=0$,解得 $m=1$,$n=-4$.
所以当 $m=1$,$n=-4$ 时,y 是x 的正比例函数.
(2) 根据正比例函数的定义,得 $2-|m|=1$,$m+1≠0$,$n+4=0$,解得 $m=1$,$n=-4$.
所以当 $m=1$,$n=-4$ 时,y 是x 的正比例函数.
7. (2025泰州市靖江市期末)工艺品店销售某种工艺品,调查发现:当销售价为40元/件时,每天的销售量为20件.当销售价每降低1元,每天的销售量就增加5件.设销售价为x元/件,每天的销售量为y件.
(1) 写出 y 与 x 之间的函数表达式.
(2) 若某天销售时,每件工艺品的利润为15元,当天共盈利750元,求这天该种工艺品每件的销售价.
(1) 写出 y 与 x 之间的函数表达式.
(2) 若某天销售时,每件工艺品的利润为15元,当天共盈利750元,求这天该种工艺品每件的销售价.
答案
7. 解:(1) $y=20+\dfrac{40-x}{1}×5=-5x+220$.
(2) 当 $y=\dfrac{750}{15}$,即 $y=50$ 时,则 $-5x+220=50$,解得 $x=34$. 所以这天该种工艺品每件的销售价为 34 元.
(2) 当 $y=\dfrac{750}{15}$,即 $y=50$ 时,则 $-5x+220=50$,解得 $x=34$. 所以这天该种工艺品每件的销售价为 34 元.
