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1. (2025 常州市模拟)骑行山地自行车过程中,如果车座高度不合适,会使骑行者踩踏费力,甚至造成膝盖磨损.有一种雷蒙德测量方法:双腿站立,两脚(不穿鞋)间距15 cm,测量裆部离地面的距离 x(单位:cm),得出的数据乘 0.883 就是相应的骑行时最合适的 AC 长度(由长度为 48 cm 的立管 AB 和可调节的坐杆 BC 组成,如图所示).设 AC 长度最合适时坐杆 BC 的长度为 y cm,则下列说法不正确的是 （
A.若某人裆部离地面的距离为 100 cm,则他骑行最合适的 AC 长是 88.3 cm
B.当 $x=100$ 时,$y=40.3$
C.$y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=0.883x-48$
D.若某人裆部离地面的距离为 110 cm,某山地车坐杆 BC 的最大调节长度为45 cm,那么他适合骑该山地车
D
）A.若某人裆部离地面的距离为 100 cm,则他骑行最合适的 AC 长是 88.3 cm
B.当 $x=100$ 时,$y=40.3$
C.$y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=0.883x-48$
D.若某人裆部离地面的距离为 110 cm,某山地车坐杆 BC 的最大调节长度为45 cm,那么他适合骑该山地车
答案
提示:若某人裆部离地面的距离为 100 cm,则他骑行最合适的 AC 为 100×0.883=88.3(cm),则选项 A 正确,不符合题意;因为 AC=0.883x cm,AB=48 cm,所以 y+48=0.883x,即 y=0.883x-48,则选项 C 正确,不符合题意;当 x=100 时,y=0.883×100-48=40.3,则选项 B 正确,不符合题意;当 x=110 时,y=0.883×110-48=49.13,因为 49.13＞45,所以他不适合骑该山地车,则选项 D 不正确,符合题意.
2.（2025无锡市江阴市期末）某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费.该套餐总费用$y$(元)与超出流量$x$(GB)的部分数据如下表：
已知总费用$y$(元)是超出流量$x$(GB)的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出
已知总费用$y$(元)是超出流量$x$(GB)的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出
15
GB.答案
提示:设一次函数的表达式为 y=kx+b. 根据表格,可得$\begin{cases} b=18,\\k+b=21, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=3,\\b=18, \end{cases}$所以一次函数的表达式为 y=3x+18. 令 y=63,得 3x+18=63,解得 x=15. 所以他使用的流量共超出 15 GB.
3. 近年来,市民交通安全意识逐步增强,头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔,已知购买甲种头盔20只,乙种头盔30只,共花费2 920元,甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高 11 元/只.
(1) 甲、乙两种头盔的单价分别是多少?
(2) 该商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40 只,正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下:甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购买多少只甲种头盔,能使此次购买头盔的总费用最少?最少费用是多少?
(1) 甲、乙两种头盔的单价分别是多少?
(2) 该商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40 只,正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下:甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购买多少只甲种头盔,能使此次购买头盔的总费用最少?最少费用是多少?
答案
解:(1) 设乙种头盔的单价为 x 元/只,则甲种头盔的单价为(x+11)元/只. 根据题意,得 20(x+11)+30x=2 920,解得 x=54,则 x+11=65.
答:甲、乙两种头盔的单价分别是 65 元/只、54 元/只.
(2) 设购买 m (m 为正整数)只甲种头盔、(40-m)只乙种头盔的总费用为 W 元,则W=0.8×65m+(54-6)×(40-m)=4m+1 920. 因为 4＞0,所以 W 随 m 的增大而增大. 由条件,得$\frac{1}{2}(40-m)≤ m＜40$,解得$\frac{40}{3}≤ m＜40$. 因为 m 为正整数,所以 m 的最小值为 14. 故当 m=14 时,$W_{最小值}=4×14+1\ 920=1\ 976$.
答:应购买 14 只甲种头盔,能使此次购买头盔的总费用最少,最少费用为 1 976 元.
答:甲、乙两种头盔的单价分别是 65 元/只、54 元/只.
(2) 设购买 m (m 为正整数)只甲种头盔、(40-m)只乙种头盔的总费用为 W 元,则W=0.8×65m+(54-6)×(40-m)=4m+1 920. 因为 4＞0,所以 W 随 m 的增大而增大. 由条件,得$\frac{1}{2}(40-m)≤ m＜40$,解得$\frac{40}{3}≤ m＜40$. 因为 m 为正整数,所以 m 的最小值为 14. 故当 m=14 时,$W_{最小值}=4×14+1\ 920=1\ 976$.
答:应购买 14 只甲种头盔,能使此次购买头盔的总费用最少,最少费用为 1 976 元.
4. A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动,促销方式如下:
A超市:一次购物不超过300元的打九折,超过300元后的部分打七折;
B超市:一次购物不超过100元的按原价结算,超过100元后的部分打八折.
例如:一次购物的商品原价为500元,去A超市的购物金额为 $300 × 0.9 + (500 - 300) × 0.7 = 410$(元);去B超市的购物金额为 $100 + (500 - 100) × 0.8 = 420$(元).
(1) 设商品原价为 $x$ 元,购物金额为 $y$ 元,分别就两家超市的促销方式写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.
(2) 促销期间,若小刚一次购物的商品原价超过200元,则他去哪家超市购物更省钱?请说明理由.
A超市:一次购物不超过300元的打九折,超过300元后的部分打七折;
B超市:一次购物不超过100元的按原价结算,超过100元后的部分打八折.
例如:一次购物的商品原价为500元,去A超市的购物金额为 $300 × 0.9 + (500 - 300) × 0.7 = 410$(元);去B超市的购物金额为 $100 + (500 - 100) × 0.8 = 420$(元).
(1) 设商品原价为 $x$ 元,购物金额为 $y$ 元,分别就两家超市的促销方式写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.
(2) 促销期间,若小刚一次购物的商品原价超过200元,则他去哪家超市购物更省钱?请说明理由.
答案
解:(1)$y_\mathrm{A}=\begin{cases} 0.9x(0＜x≤300),\\0.7x+60(x＞300); \end{cases}$
$y_\mathrm{B}=\begin{cases} x(0＜x≤100),\\0.8x+20(x＞100). \end{cases}$
(2) 当 200＜x≤300 时,由 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}=0.9x-(0.8x+20)=0.1x-20＞0$ 可知,去 B 超市更省钱. 当 x＞300 时,由 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}=(0.7x+60)-(0.8x+20)=40-0.1x$ 可知,若 300＜x＜400,则 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}＞0$,此时去 B 超市更省钱;若 x＞400,则$y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}＜0$,此时去 A 超市更省钱;若 x=400,则 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}=0$,此时无论去哪家超市,费用都一样.
答:当 200＜x＜400 时,去 B 超市更省钱;当 x=400 时,无论去哪家超市,费用都一样;当 x＞400 时,去 A 超市更省钱.
$y_\mathrm{B}=\begin{cases} x(0＜x≤100),\\0.8x+20(x＞100). \end{cases}$
(2) 当 200＜x≤300 时,由 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}=0.9x-(0.8x+20)=0.1x-20＞0$ 可知,去 B 超市更省钱. 当 x＞300 时,由 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}=(0.7x+60)-(0.8x+20)=40-0.1x$ 可知,若 300＜x＜400,则 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}＞0$,此时去 B 超市更省钱;若 x＞400,则$y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}＜0$,此时去 A 超市更省钱;若 x=400,则 $y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}=0$,此时无论去哪家超市,费用都一样.
答:当 200＜x＜400 时,去 B 超市更省钱;当 x=400 时,无论去哪家超市,费用都一样;当 x＞400 时,去 A 超市更省钱.
