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15.已知$a+b=-2$，$ab=1$，则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值是（）
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
B
解析
由已知条件a+b=-2＜0，ab=1＞0，可得a＜0，b＜0。
对原式化简：
$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{ab}{b^2}}+\sqrt{\frac{ab}{a^2}}=\frac{\sqrt{ab}}{|b|}+\frac{\sqrt{ab}}{|a|}$
因为a＜0，b＜0，所以$|a|=-a$，$|b|=-b$，代入得：
$=\frac{\sqrt{ab}}{-b}+\frac{\sqrt{ab}}{-a}=-\sqrt{ab}·\frac{a+b}{ab}$
将a+b=-2，ab=1代入上式：
$=-\sqrt{1}·\frac{-2}{1}=2$
对原式化简：
$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{ab}{b^2}}+\sqrt{\frac{ab}{a^2}}=\frac{\sqrt{ab}}{|b|}+\frac{\sqrt{ab}}{|a|}$
因为a＜0，b＜0，所以$|a|=-a$，$|b|=-b$，代入得：
$=\frac{\sqrt{ab}}{-b}+\frac{\sqrt{ab}}{-a}=-\sqrt{ab}·\frac{a+b}{ab}$
将a+b=-2，ab=1代入上式：
$=-\sqrt{1}·\frac{-2}{1}=2$
16. 已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}, y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，则代数式$x^2 - 2xy + y^2$的值为（）
A.28
B.20
C.$4\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{5}$
A.28
B.20
C.$4\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{5}$
答案
B
解析
先利用完全平方公式对代数式变形：$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$。
计算$x-y$的值：$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$。
代入得：$(x-y)^2=(2\sqrt{5})^2=20$。
计算$x-y$的值：$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$。
代入得：$(x-y)^2=(2\sqrt{5})^2=20$。
17. 现定义一种新运算◎:对于任意正有理数$x,y$,都有$x◎y=\sqrt{3x}-2\sqrt{y}$.例如:$9◎3=\sqrt{3×9}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.则$6◎8=$.
答案
$\boldsymbol{-\sqrt{2}}$
解析
解：根据新运算定义，将$x=6$，$y=8$代入公式：
$\begin{aligned}6◎8&=\sqrt{3×6}-2\sqrt{8}\\&=\sqrt{18}-2×2\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
最终
$\begin{aligned}6◎8&=\sqrt{3×6}-2\sqrt{8}\\&=\sqrt{18}-2×2\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
最终
18.设$a=\sqrt{7}+\sqrt{6}$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$，则$a^{2025}b^{2026}$的值是。
答案
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
解析
解：
先计算$ab$的值：
$ab=(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2=7-6=1$
对所求式子变形：
$a^{2025}b^{2026}=a^{2025}b^{2025}· b=(ab)^{2025}· b$
将$ab=1$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$代入上式：
$原式=1^{2025}×(\sqrt{7}-\sqrt{6})=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
最终
先计算$ab$的值：
$ab=(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2=7-6=1$
对所求式子变形：
$a^{2025}b^{2026}=a^{2025}b^{2025}· b=(ab)^{2025}· b$
将$ab=1$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$代入上式：
$原式=1^{2025}×(\sqrt{7}-\sqrt{6})=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
最终
19.当$a ≥ 0$且$b ≥ 0$时，化简：$\sqrt{4a^3b} - a\sqrt{ab} = \_\_\_\_\_\_$
答案
$\boldsymbol{a\sqrt{ab}}$
解析
解：
∵ $a\ge0$，$b\ge0$，
∴ $\sqrt{4a^3b}=\sqrt{2^2· a^2· ab}=2a\sqrt{ab}$，
∴ 原式$=2a\sqrt{ab}-a\sqrt{ab}=a\sqrt{ab}$。
最终
∵ $a\ge0$，$b\ge0$，
∴ $\sqrt{4a^3b}=\sqrt{2^2· a^2· ab}=2a\sqrt{ab}$，
∴ 原式$=2a\sqrt{ab}-a\sqrt{ab}=a\sqrt{ab}$。
最终
20. 某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，绿地的长BC为$\sqrt{162}$ m，宽AB为$\sqrt{128}$ m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为$(\sqrt{13}+1)$ m，宽为$(\sqrt{13}-1)$ m.
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元/$m^2$的地砖.要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元/$m^2$的地砖.要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
答案
解：
(1) 长方形ABCD的周长为：
$2×(BC + AB) = 2×(\sqrt{162} + \sqrt{128})$
$= 2×(9\sqrt{2} + 8\sqrt{2})$
$= 2×17\sqrt{2}$
$= 34\sqrt{2}\ (\mathrm{m})$
(2) 长方形绿地的面积：
$S_{ABCD} = \sqrt{162}×\sqrt{128} = \sqrt{162×128} = \sqrt{20736} = 144\ (\mathrm{m}^2)$
长方形花坛的面积：
$S_{\mathrm{花坛}} = (\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1) = (\sqrt{13})^2 - 1^2 = 13 - 1 = 12\ (\mathrm{m}^2)$
通道的面积：$144 - 12 = 132\ (\mathrm{m}^2)$
购买地砖的总费用：$132×8 = 1056\ (\mathrm{元})$
答：(1) 长方形ABCD的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；(2) 购买地砖需要花费1056元。
(1) 长方形ABCD的周长为：
$2×(BC + AB) = 2×(\sqrt{162} + \sqrt{128})$
$= 2×(9\sqrt{2} + 8\sqrt{2})$
$= 2×17\sqrt{2}$
$= 34\sqrt{2}\ (\mathrm{m})$
(2) 长方形绿地的面积：
$S_{ABCD} = \sqrt{162}×\sqrt{128} = \sqrt{162×128} = \sqrt{20736} = 144\ (\mathrm{m}^2)$
长方形花坛的面积：
$S_{\mathrm{花坛}} = (\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1) = (\sqrt{13})^2 - 1^2 = 13 - 1 = 12\ (\mathrm{m}^2)$
通道的面积：$144 - 12 = 132\ (\mathrm{m}^2)$
购买地砖的总费用：$132×8 = 1056\ (\mathrm{元})$
答：(1) 长方形ABCD的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；(2) 购买地砖需要花费1056元。
