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1. 计算$\sqrt{\frac{1}{8}} × \sqrt{32}$正确的结果是 （）
A.4
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A.4
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
B
解析
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{\frac{1}{8}} × \sqrt{32} = \sqrt{\frac{1}{8} × 32} = \sqrt{4} = 2$
$\sqrt{\frac{1}{8}} × \sqrt{32} = \sqrt{\frac{1}{8} × 32} = \sqrt{4} = 2$
2. 下列计算中正确的是 （）
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{4}=\pm2$
C.$(\sqrt{3})^2=3$
D.$\pm\sqrt{9}=3$
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{4}=\pm2$
C.$(\sqrt{3})^2=3$
D.$\pm\sqrt{9}=3$
答案
C
解析
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，不等于$-2$，计算错误。
2. 选项B：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，结果为$2$，不是$\pm2$，计算错误。
3. 选项C：根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，可得$(\sqrt{3})^2=3$，计算正确。
4. 选项D：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，结果为$\pm3$，不等于$3$，计算错误。
综上，正确的是选项C。
1. 选项A：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，不等于$-2$，计算错误。
2. 选项B：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，结果为$2$，不是$\pm2$，计算错误。
3. 选项C：根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，可得$(\sqrt{3})^2=3$，计算正确。
4. 选项D：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，结果为$\pm3$，不等于$3$，计算错误。
综上，正确的是选项C。
3. 下列从左到右的变形不一定正确的是 （）
A.$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{a^2} = |a|$
C.$(\sqrt{a})^2 = a\ (a ≥ 0)$
D.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
A.$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{a^2} = |a|$
C.$(\sqrt{a})^2 = a\ (a ≥ 0)$
D.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
答案
D
解析
根据二次根式的性质逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$有意义的前提是$a≥0$，$b≥0$，此时$ab≥0$，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$一定成立。
2. 选项B：二次根式的结果是非负数，因此$\sqrt{a^2}=|a|$恒成立。
3. 选项C：已知$a≥0$，$(\sqrt{a})^2=a$是二次根式的基本性质，一定成立。
4. 选项D：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，若$a＜0$，$b＜0$，此时$ab＞0$，左边$\sqrt{ab}$有意义，但右边$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，该变形不成立，因此该变形不一定正确。
1. 选项A：$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$有意义的前提是$a≥0$，$b≥0$，此时$ab≥0$，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$一定成立。
2. 选项B：二次根式的结果是非负数，因此$\sqrt{a^2}=|a|$恒成立。
3. 选项C：已知$a≥0$，$(\sqrt{a})^2=a$是二次根式的基本性质，一定成立。
4. 选项D：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，若$a＜0$，$b＜0$，此时$ab＞0$，左边$\sqrt{ab}$有意义，但右边$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，该变形不成立，因此该变形不一定正确。
4. 下列各数中与$\sqrt{2}$的积为有理数的是 （）
A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
C
解析
分别计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积：
A. $2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，属于无理数；
B. $3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，属于无理数；
C. $\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，属于有理数；
D. $\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$，属于无理数。
因此只有选项C满足和$\sqrt{2}$的积为有理数的要求。
A. $2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，属于无理数；
B. $3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，属于无理数；
C. $\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，属于有理数；
D. $\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$，属于无理数。
因此只有选项C满足和$\sqrt{2}$的积为有理数的要求。
5. 计算$-\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12}$的结果为 （）
A.$-6$
B.$-\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}$
D.$6$
A.$-6$
B.$-\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}$
D.$6$
答案
B
解析
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，计算得：
$-\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} = -\sqrt{\frac{1}{2}×12} = -\sqrt{6}$。
$-\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} = -\sqrt{\frac{1}{2}×12} = -\sqrt{6}$。
6. 化简$(-\sqrt{9})^2$的结果是 （）
A.$-3$
B.$3$
C.$-9$
D.$9$
A.$-3$
B.$3$
C.$-9$
D.$9$
答案
D
解析
方法1：先计算根号部分，$\sqrt{9}=3$，因此$-\sqrt{9}=-3$，再计算平方可得$(-3)^2=9$。
方法2：利用乘方运算性质，$(-\sqrt{9})^2=(-1)^2×(\sqrt{9})^2=1×9=9$。
最终化简结果为9。
方法2：利用乘方运算性质，$(-\sqrt{9})^2=(-1)^2×(\sqrt{9})^2=1×9=9$。
最终化简结果为9。
7. 已知$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3}$，用含$a,b$的代数式表示$\sqrt{6}$为 （）
A.$a+b$
B.$2a$
C.$2b$
D.$ab$
A.$a+b$
B.$2a$
C.$2b$
D.$ab$
答案
D
解析
根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2 × 3} = \sqrt{6}$，已知$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，因此$ab=\sqrt{2} × \sqrt{3}=\sqrt{6}$。
8. 下列二次根式中是最简二次根式的是 （）
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{50}$
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{50}$
答案
A
解析
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断：
选项A：$\sqrt{5}$的被开方数5不含分母，也没有能开得尽方的因数，是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数25，不是最简二次根式。
选项A：$\sqrt{5}$的被开方数5不含分母，也没有能开得尽方的因数，是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数25，不是最简二次根式。
