15.如图，P是$∠ AOB$内一点，$P_1$，$P_2$分别是点P关于OA，OB的对称点，$P_1P_2$交OA于点M，交OB于点N，若$P_1P_2=10\ \mathrm{cm}$，则$△ PMN$的周长是。第15题图 第16题图 第17题图

$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$

解：
∵ $P_1$是点$P$关于$OA$的对称点，
∴ $OA$垂直平分$PP_1$，
∴ $PM = P_1M$。
∵ $P_2$是点$P$关于$OB$的对称点，
∴ $OB$垂直平分$PP_2$，
∴ $PN = P_2N$。
∴ $△ PMN$的周长$= PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
已知$P_1P_2=10\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ PMN$的周长是$10\ \mathrm{cm}$。

16.如图,在$△ ABC$中,D是BC上一点,连接AD,将$△ ABC$沿AD折叠,点B的对应点E恰好落在AC上,M是AD上一动点,连接ME,MC,若$BC=5$,$AB=3$,$AC=6$,则$MC+ME$的最小值为。

$\boldsymbol{5}$

解：由折叠的性质可得，点B与点E关于直线AD对称，
因此ME = MB，
则MC + ME = MC + MB。
根据两点之间线段最短，可知MC + MB ≥ BC，当且仅当点M落在AD与BC的交点D处时，等号成立，此时MC + ME取得最小值。
已知BC=5，因此MC + ME的最小值为5。

17.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,CD上的点,将四边形AEFD沿直线EF折叠后,点A落在线段BC上的点A'处,正方形ABCD的边长为3 cm,则图中阴影部分的周长为 cm。

解：由折叠的性质可得：$AE = A'E$，$AD = A'D'$，$DF = D'F$。
阴影部分的周长为：
$\begin{aligned}&BE + BA' + A'E + A'C + CF + FD' + D'G + GA'\\=&(BE + A'E) + (BA' + A'C) + (CF + FD') + (GA' + D'G)\\=&(BE + AE) + BC + (CF + DF) + A'D'\\=&AB + BC + CD + AD\end{aligned}$
已知正方形$ABCD$的边长为$3\ \mathrm{cm}$，即$AB=BC=CD=AD=3\ \mathrm{cm}$，
因此阴影部分的周长为$3×4=12\ \mathrm{cm}$。
$\boxed{12}$

18. 如图，射线ON，OE，OS，OW分别表示从点O出发的北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O重合，按如图放置。
(1)图中与∠BOE互余的角是；
(2)①用直尺和圆规作∠AOE的平分线OP；
（不写作法，保留作图痕迹）
②在①所作的图形中，如果∠AOE=132°，那么点P在点O的方向。

(1) $∠ BON$和$∠ AOW$
(2) ② 北偏东$24°$

解：
(1) 由题意得 $ON ⊥ OE$，即 $∠ NOE = 90°$，因此 $∠ BOE + ∠ BON = 90°$。
因为三角尺的直角顶点在$O$，$∠ AOB = 90°$，所以 $∠ AON + ∠ BON = 90°$，可得 $∠ BOE = ∠ AON$。
又因为 $OW ⊥ ON$，即 $∠ NOW = 90°$，所以 $∠ AON + ∠ AOW = 90°$，代入 $∠ BOE = ∠ AON$ 得 $∠ BOE + ∠ AOW = 90°$。
因此与$∠ BOE$互余的角是 $∠ BON$，$∠ AOW$；
(2) ① 按尺规作角平分线的方法作图：以$O$为圆心，适当长度为半径画弧，分别交$OA$、$OE$于两点，再分别以这两个点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在$∠ AOE$内部交于点$P$，连接$OP$，即为所求$∠ AOE$的平分线，保留作图痕迹。
② 因为$OP$平分$∠ AOE$，$∠ AOE=132°$，所以 $∠ POE = \frac{1}{2}∠ AOE = 66°$。
又因为$∠ NOE = 90°$，所以 $∠ NOP = 90° - ∠ POE = 24°$，因此点$P$在点$O$的北偏东$24°$方向。

19. 如图1，$CA⊥AB$，$DB⊥AB$，$AC=BD$，$P$，$Q$分别为线段$AB$，$BD$上任意一点。

(1)若$P$为$AB$的中点，点$Q$与点$D$重合，试说明$△ ACP$与$△ BDP$全等；
(2)如图2，若$∠ CPQ=90°$，$CP=PQ$，求$AC$，$BQ$，$AB$之间的数量关系；
(3)如图3，将“$CA⊥AB$，$DB⊥AB$”改为“$∠ A=∠ B=α$($α$为锐角)”，其他条件不变。若$∠ CPQ=α$，$CP=PQ$，判断(2)中的数量关系是否会改变？并说明理由。

解：
(1) 证明：
∵ $CA ⊥ AB$，$DB ⊥ AB$，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，
∵ $P$为$AB$的中点，
∴ $AP = BP$，
在$△ ACP$和$△ BDP$中，
$\begin{cases}AC = BD \\∠ A = ∠ B \\AP = BP\end{cases}$
∴ $△ ACP ≌ △ BDP$（SAS）。
(2) 解：$AB = AC + BQ$，推导如下：
∵ $∠ CPQ = 90°$，
∴ $∠ APC + ∠ BPQ = 180° - 90° = 90°$，
∵ $CA ⊥ AB$，
∴ $∠ A = 90°$，
∴ $∠ APC + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ C = ∠ BPQ$，
在$△ ACP$和$△ BPQ$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ B = 90° \\∠ C = ∠ BPQ \\CP = PQ\end{cases}$
∴ $△ ACP ≌ △ BPQ$（AAS），
∴ $AC = BP$，$AP = BQ$，
∵ $AB = AP + BP$，
∴ $AB = BQ + AC$。
(3) 解：(2)中的数量关系不会改变，仍满足$AB = AC + BQ$，理由如下：
∵ $∠ A = ∠ CPQ = α$，
∴ 在$△ ACP$中，$∠ C + ∠ APC = 180° - α$，
又∵ $∠ APC + ∠ BPQ = 180° - ∠ CPQ = 180° - α$，
∴ $∠ C = ∠ BPQ$，
在$△ ACP$和$△ BPQ$中，
$\begin{cases}∠ C = ∠ BPQ \\∠ A = ∠ B = α \\CP = PQ\end{cases}$
∴ $△ ACP ≌ △ BPQ$（AAS），
∴ $AC = BP$，$AP = BQ$，
∵ $AB = AP + BP$，
∴ $AB = BQ + AC$，即原数量关系不变。