登录
9. 阅读理解:如果一个正整数 $ m $ 能表示为两个正整数 $ a、b $ 的平方和,即 $ m=a^2+b^2 $,那么称 $ m $ 为“广义勾股数”.给出下列四个结论:①7 不是“广义勾股数”;②13 是“广义勾股数”;③两个“广义勾股数”的和是“广义勾股数”;④两个“广义勾股数”的积是“广义勾股数”.其中结论正确的是（
A.②④
B.①②④
C.①②
D.①④
C
）A.②④
B.①②④
C.①②
D.①④
答案
9. C 解析:$\because 7$ 不能表示为两个正整数的平方和,$\therefore 7$ 不是“广义勾股数”,故①正确; $\because 13=2^2+3^2$,$\therefore 13$ 是“广义勾股数”,故②正确; 两个“广义勾股数”的和不一定是“广义勾股数”,如 5 和 10 是“广义勾股数”,但是它们的和不是“广义勾股数”,故③错误; 两个“广义勾股数”的积不一定是“广义勾股数”,如 2 和 2 都是“广义勾股数”,但 $2×2=4$,4 不是“广义勾股数”,故④错误. 综上所述,正确的是①②.
解析
【分析】
解题时首先要准确理解“广义勾股数”的定义：正整数$m$能表示为两个正整数$a、b$的平方和，即$m=a^2+b^2$，才符合要求。接下来逐一验证四个结论：判断结论正确需找到符合定义的表示，判断结论错误只需举出反例即可。先验证7能否拆成两个正整数平方和，再验证13能否拆成两个正整数平方和，接着找反例验证两个广义勾股数的和、积是否一定是广义勾股数，最后汇总正确结论选择答案。
【解析】
①小于7的正整数的平方仅有$1^2=1$、$2^2=4$，$1+1=2$，$1+4=5$，$4+4=8＞7$，7无法表示为两个正整数的平方和，因此7不是“广义勾股数”，①正确；
②$13=2^2+3^2$，符合广义勾股数的定义，因此13是“广义勾股数”，②正确；
③举反例：$5=1^2+2^2$、$10=1^2+3^2$，均为广义勾股数，二者之和为15，15无法表示为两个正整数的平方和，因此两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，③错误；
④举反例：$2=1^2+1^2$，是广义勾股数，两个2的乘积为4，4无法表示为两个正整数的平方和（仅能表示为$0^2+2^2$，0不是正整数），因此两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，④错误。
综上，正确的结论是①②。
【答案】
C
【知识点】
新定义理解，平方运算，命题真假判断
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确把握题干给出的“广义勾股数”的定义，判断假命题时通过举反例可以快速验证，整体侧重考查阅读理解能力和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解“广义勾股数”的定义：正整数$m$能表示为两个正整数$a、b$的平方和，即$m=a^2+b^2$，才符合要求。接下来逐一验证四个结论：判断结论正确需找到符合定义的表示，判断结论错误只需举出反例即可。先验证7能否拆成两个正整数平方和，再验证13能否拆成两个正整数平方和，接着找反例验证两个广义勾股数的和、积是否一定是广义勾股数，最后汇总正确结论选择答案。
【解析】
①小于7的正整数的平方仅有$1^2=1$、$2^2=4$，$1+1=2$，$1+4=5$，$4+4=8＞7$，7无法表示为两个正整数的平方和，因此7不是“广义勾股数”，①正确；
②$13=2^2+3^2$，符合广义勾股数的定义，因此13是“广义勾股数”，②正确；
③举反例：$5=1^2+2^2$、$10=1^2+3^2$，均为广义勾股数，二者之和为15，15无法表示为两个正整数的平方和，因此两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，③错误；
④举反例：$2=1^2+1^2$，是广义勾股数，两个2的乘积为4，4无法表示为两个正整数的平方和（仅能表示为$0^2+2^2$，0不是正整数），因此两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，④错误。
综上，正确的结论是①②。
【答案】
C
【知识点】
新定义理解，平方运算，命题真假判断
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确把握题干给出的“广义勾股数”的定义，判断假命题时通过举反例可以快速验证，整体侧重考查阅读理解能力和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10. 已知 $ m $ 表示大于1的整数，设 $ a=2m $，$ b=m^2 - 1 $，$ c=2m^2 + 2m $，$ d=m^2 + 1 $，其中任选三个数能构成勾股数的为 （
A.$ a、b、c $
B.$ a、b、d $
C.$ a、c、d $
D.$ b、c、d $
B
）A.$ a、b、c $
B.$ a、b、d $
C.$ a、c、d $
D.$ b、c、d $
答案
10. B 解析:$\because a=2m$,$b=m^2-1$,$d=m^2+1$,$\therefore a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2$,$d^2=(m^2+1)^2$,$\therefore a^2+b^2=d^2$,$\therefore a、b、d$ 三个数能构成勾股数.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确勾股数的判定要求：三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方。已知m是大于1的整数，因此题中给出的a、b、c、d均为正整数，只需验证各选项的三个数是否满足平方和关系即可。解题时有两种常用思路：①直接通过整式运算计算各数的平方，验证平方和等式；②代入特殊值（如令m=2）快速计算四个数的具体值，再验证哪组符合勾股数要求，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法一：代数验证法
先分别计算a、b、d的平方：
$a^2=(2m)^2=4m^2$，
$b^2=(m^2-1)^2=m^4-2m^2+1$，
$d^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$。
计算$a^2+b^2$：
$a^2+b^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2=d^2$，
满足勾股定理的逆定理，因此a、b、d是勾股数。
其余选项均不满足平方和关系，故排除A、C、D。
方法二：特殊值法
令m=2（m为大于1的整数，取方便计算的数值即可），则：
$a=2×2=4$，$b=2^2-1=3$，$c=2×2^2+2×2=12$，$d=2^2+1=5$。
3、4、5是常见勾股数，恰好对应a、b、d，其余选项的三个数均不满足勾股数要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的判定，完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题型，既可以通过整式运算推导得出结论，也可以用特殊值法快速求解，特殊值法在解决这类代数式选填题时能有效提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确勾股数的判定要求：三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方。已知m是大于1的整数，因此题中给出的a、b、c、d均为正整数，只需验证各选项的三个数是否满足平方和关系即可。解题时有两种常用思路：①直接通过整式运算计算各数的平方，验证平方和等式；②代入特殊值（如令m=2）快速计算四个数的具体值，再验证哪组符合勾股数要求，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法一：代数验证法
先分别计算a、b、d的平方：
$a^2=(2m)^2=4m^2$，
$b^2=(m^2-1)^2=m^4-2m^2+1$，
$d^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$。
计算$a^2+b^2$：
$a^2+b^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2=d^2$，
满足勾股定理的逆定理，因此a、b、d是勾股数。
其余选项均不满足平方和关系，故排除A、C、D。
方法二：特殊值法
令m=2（m为大于1的整数，取方便计算的数值即可），则：
$a=2×2=4$，$b=2^2-1=3$，$c=2×2^2+2×2=12$，$d=2^2+1=5$。
3、4、5是常见勾股数，恰好对应a、b、d，其余选项的三个数均不满足勾股数要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的判定，完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题型，既可以通过整式运算推导得出结论，也可以用特殊值法快速求解，特殊值法在解决这类代数式选填题时能有效提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
11. 如图,已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm.
(1)求证:CD⊥AB.
(2)求△ABC的腰长.
(1)求证:CD⊥AB.
(2)求△ABC的腰长.
答案
11. (1)证明:$\because CD=16\ \mathrm{cm}$,$BD=12\ \mathrm{cm}$,$BC=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore CD^2+BD^2=400=BC^2$,$\therefore ∠ BDC=90°$,$\therefore CD\bot AB$.
(2)设 $AB=AC=x\ \mathrm{cm}$,则 $AD=(x-12)\mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AC^2=AD^2+CD^2$,$\therefore x^2=(x-12)^2+16^2$,解得 $x=\frac{50}{3}$,即$△ ABC$ 的腰长为 $\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$.
(2)设 $AB=AC=x\ \mathrm{cm}$,则 $AD=(x-12)\mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AC^2=AD^2+CD^2$,$\therefore x^2=(x-12)^2+16^2$,解得 $x=\frac{50}{3}$,即$△ ABC$ 的腰长为 $\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 要证明CD⊥AB，即需证明∠BDC=90°，已知△BDC三边的长度，可利用勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边对应的角为直角，即可得证。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，即AB=AC，可设腰长为x cm，结合第一问得到的CD⊥AB的结论，可知△ACD是直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出腰长。
【解析】
(1) 证明：$\because CD=16\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD^2+BD^2=16^2+12^2=256+144=400$，$BC^2=20^2=400$，
即$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
$\therefore CD\bot AB$。
(2) 解：设腰长$AB=AC=x\ \mathrm{cm}$，则$AD=AB-BD=(x-12)\ \mathrm{cm}$，
由(1)知$CD⊥ AB$，故$△ ACD$为直角三角形，
根据勾股定理得$AC^2=AD^2+CD^2$，代入得：
$x^2=(x-12)^2+16^2$
展开得$x^2=x^2-24x+144+256$，
化简得$24x=400$，
解得$x=\frac{50}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立，$CD⊥ AB$；
(2) $△ ABC$的腰长为$\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，第二问结合等腰三角形的性质，通过设未知数、利用勾股定理列方程求解，渗透了方程思想，掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CD⊥AB，即需证明∠BDC=90°，已知△BDC三边的长度，可利用勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边对应的角为直角，即可得证。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，即AB=AC，可设腰长为x cm，结合第一问得到的CD⊥AB的结论，可知△ACD是直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出腰长。
【解析】
(1) 证明：$\because CD=16\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD^2+BD^2=16^2+12^2=256+144=400$，$BC^2=20^2=400$，
即$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
$\therefore CD\bot AB$。
(2) 解：设腰长$AB=AC=x\ \mathrm{cm}$，则$AD=AB-BD=(x-12)\ \mathrm{cm}$，
由(1)知$CD⊥ AB$，故$△ ACD$为直角三角形，
根据勾股定理得$AC^2=AD^2+CD^2$，代入得：
$x^2=(x-12)^2+16^2$
展开得$x^2=x^2-24x+144+256$，
化简得$24x=400$，
解得$x=\frac{50}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立，$CD⊥ AB$；
(2) $△ ABC$的腰长为$\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，第二问结合等腰三角形的性质，通过设未知数、利用勾股定理列方程求解，渗透了方程思想，掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,$E$为边$AB$上一点,连接$CE$并延长,过点$A$作$AD ⊥ CE$,垂足为$D$,且$AD=7$,$AB=20$,$BC=15$,$DC=24$.
(1)求证:$∠ B$为直角.
(2)记$△ ADE$的面积为$S_1$,$△ BCE$的面积为$S_2$,则$S_2 - S_1$的值为________.
(1)求证:$∠ B$为直角.
(2)记$△ ADE$的面积为$S_1$,$△ BCE$的面积为$S_2$,则$S_2 - S_1$的值为________.
答案
12. (1)证明:$\because AD⊥ CE$,$\therefore ∠ D=90°$. $\because AD=7$,$DC=24$,$\therefore AC^2=AD^2+DC^2=7^2+24^2=625$. $\because AB=20$,$BC=15$,$\therefore AB^2+BC^2=20^2+15^2=625=AC^2$,$\therefore△ ABC$ 是直角三角形,$∠ B$ 为直角.
(2)66 解析:$\because S_1=S_{△ ACD}-S_{△ ACE}$,$S_2=S_{△ ABC}-S_{△ ACE}$,$\therefore S_2-S_1=(S_{△ ABC}-S_{△ ACE})-(S_{△ ACD}-S_{△ ACE})=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}BC· AB-\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×15×20-\frac{1}{2}×7×24=66$.
(2)66 解析:$\because S_1=S_{△ ACD}-S_{△ ACE}$,$S_2=S_{△ ABC}-S_{△ ACE}$,$\therefore S_2-S_1=(S_{△ ABC}-S_{△ ACE})-(S_{△ ACD}-S_{△ ACE})=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}BC· AB-\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×15×20-\frac{1}{2}×7×24=66$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠B为直角，可利用勾股定理的逆定理，只要证明△ABC中$AB^2+BC^2=AC^2$即可。已知$AD⊥CE$，△ADC是直角三角形，先通过勾股定理求出$AC^2$的数值，再验证$AB^2$与$BC^2$的和是否等于$AC^2$即可。
(2) 直接计算$S_1$和$S_2$缺少对应三角形的底、高条件，观察面积关系可知：$S_1=S_{△ACD}-S_{△ACE}$，$S_2=S_{△ABC}-S_{△ACE}$，两式相减后$S_{△ACE}$会抵消，即可将$S_2-S_1$转化为$S_{△ABC}$与$S_{△ACD}$的面积差，代入已知边长计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ CE$，$\therefore ∠ D=90°$。
在$Rt△ADC$中，$AD=7$，$DC=24$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+DC^2=7^2+24^2=49+576=625$。
又$\because AB=20$，$BC=15$，
$\therefore AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，
$\therefore△ ABC$ 是直角三角形，$∠ B$ 为直角。
(2) 解：由图形的面积和差关系可得：
$S_1=S_{△ACD}-S_{△ACE}$，$S_2=S_{△ABC}-S_{△ACE}$，
$\therefore S_2-S_1=(S_{△ABC}-S_{△ACE})-(S_{△ACD}-S_{△ACE})=S_{△ABC}-S_{△ACD}$。
$\because ∠B$为直角，$AD⊥CD$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×20×15=150$，
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AD×DC=\frac{1}{2}×7×24=84$，
$\therefore S_2-S_1=150-84=66$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{66}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，面积和差计算
【点评】
本题第一问是勾股定理逆定理的基础应用，核心是先通过直角三角形ADC求出AC的平方，再验证△ABC的三边满足勾股定理的逆定理条件；第二问用到转化思想，将无法直接计算的面积差转化为两个可求的直角三角形的面积差，避免了多余计算，是解决此类面积差问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠B为直角，可利用勾股定理的逆定理，只要证明△ABC中$AB^2+BC^2=AC^2$即可。已知$AD⊥CE$，△ADC是直角三角形，先通过勾股定理求出$AC^2$的数值，再验证$AB^2$与$BC^2$的和是否等于$AC^2$即可。
(2) 直接计算$S_1$和$S_2$缺少对应三角形的底、高条件，观察面积关系可知：$S_1=S_{△ACD}-S_{△ACE}$，$S_2=S_{△ABC}-S_{△ACE}$，两式相减后$S_{△ACE}$会抵消，即可将$S_2-S_1$转化为$S_{△ABC}$与$S_{△ACD}$的面积差，代入已知边长计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ CE$，$\therefore ∠ D=90°$。
在$Rt△ADC$中，$AD=7$，$DC=24$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+DC^2=7^2+24^2=49+576=625$。
又$\because AB=20$，$BC=15$，
$\therefore AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，
$\therefore△ ABC$ 是直角三角形，$∠ B$ 为直角。
(2) 解：由图形的面积和差关系可得：
$S_1=S_{△ACD}-S_{△ACE}$，$S_2=S_{△ABC}-S_{△ACE}$，
$\therefore S_2-S_1=(S_{△ABC}-S_{△ACE})-(S_{△ACD}-S_{△ACE})=S_{△ABC}-S_{△ACD}$。
$\because ∠B$为直角，$AD⊥CD$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×20×15=150$，
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AD×DC=\frac{1}{2}×7×24=84$，
$\therefore S_2-S_1=150-84=66$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{66}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，面积和差计算
【点评】
本题第一问是勾股定理逆定理的基础应用，核心是先通过直角三角形ADC求出AC的平方，再验证△ABC的三边满足勾股定理的逆定理条件；第二问用到转化思想，将无法直接计算的面积差转化为两个可求的直角三角形的面积差，避免了多余计算，是解决此类面积差问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D、E$分别是边$AB、BC$上的点,连接$ED$并延长交$CA$的延长线于点$F$,$BD=3$,$BE=2$,$DE=\sqrt{5}$.
(1)求证:$DE⊥ BC$.
(2)求证:$△ ADF$是等腰三角形.
(1)求证:$DE⊥ BC$.
(2)求证:$△ ADF$是等腰三角形.
答案
13. 证明:(1)$\because BD=3$,$BE=2$,$DE=\sqrt{5}$,$\therefore BE^2+DE^2=9=BD^2$,$\therefore△ BDE$ 是直角三角形,$∠ BED=90°$,$\therefore DE\bot BC$.
(2)由(1)得,$DE\bot BC$,$\therefore ∠ BDE+∠ B=90°$,$∠ F+∠ C=90°$. 又$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$,$\therefore ∠ F=∠ BDE$. 又$\because ∠ BDE=∠ FDA$,$\therefore ∠ F=∠ FDA$,$\therefore AF=AD$,即$△ ADF$ 是等腰三角形.
(2)由(1)得,$DE\bot BC$,$\therefore ∠ BDE+∠ B=90°$,$∠ F+∠ C=90°$. 又$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$,$\therefore ∠ F=∠ BDE$. 又$\because ∠ BDE=∠ FDA$,$\therefore ∠ F=∠ FDA$,$\therefore AF=AD$,即$△ ADF$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证明$DE⊥BC$，本质是证明$∠ BED=90°$。题目已给出$△ BDE$的三边长度，可利用勾股定理的逆定理判断：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边对应的角为直角，即可得到$∠ BED=90°$，证得垂直。
(2) 要证明$△ ADF$是等腰三角形，需证明该三角形有两个内角相等。结合(1)的垂直结论可得两个直角，再利用$AB=AC$推出$∠ B=∠ C$，通过等角的余角相等得到$∠ F$与$∠ BDE$相等，结合对顶角相等的性质，可推出$∠ F=∠ FDA$，进而得到两边相等，即可证明$△ ADF$为等腰三角形。
【解析】
(1) 已知$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$，计算边的平方可得：
$BE^2+DE^2=2^2+(\sqrt{5})^2=4+5=9$，$BD^2=3^2=9$，
因此$BE^2+DE^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BDE$是直角三角形，且$∠ BED=90°$，故$DE⊥BC$。
(2) 由(1)得$DE⊥BC$，因此$∠ BDE+∠ B=90°$，$∠ F+∠ C=90°$。
因为$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ B=∠ C$，
因此$∠ F=∠ BDE$（等角的余角相等）。
又因为$∠ BDE$和$∠ FDA$是对顶角，所以$∠ BDE=∠ FDA$，
等量代换得$∠ F=∠ FDA$，根据等角对等边可得$AF=AD$，即$△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
(1)$\because BD=3$,$BE=2$,$DE=\sqrt{5}$,$\therefore BE^2+DE^2=9=BD^2$,$\therefore△ BDE$ 是直角三角形,$∠ BED=90°$,$\therefore DE\bot BC$.
(2)由(1)得,$DE\bot BC$,$\therefore ∠ BDE+∠ B=90°$,$∠ F+∠ C=90°$. 又$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$,$\therefore ∠ F=∠ BDE$. 又$\because ∠ BDE=∠ FDA$,$\therefore ∠ F=∠ FDA$,$\therefore AF=AD$,即$△ ADF$ 是等腰三角形.
【知识点】
勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、等角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查核心定理的基础应用，解题逻辑链条清晰，关键是先通过边长关系推导垂直结论，再结合角的等量代换完成等腰三角形的判定，注重对基础定理运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明$DE⊥BC$，本质是证明$∠ BED=90°$。题目已给出$△ BDE$的三边长度，可利用勾股定理的逆定理判断：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边对应的角为直角，即可得到$∠ BED=90°$，证得垂直。
(2) 要证明$△ ADF$是等腰三角形，需证明该三角形有两个内角相等。结合(1)的垂直结论可得两个直角，再利用$AB=AC$推出$∠ B=∠ C$，通过等角的余角相等得到$∠ F$与$∠ BDE$相等，结合对顶角相等的性质，可推出$∠ F=∠ FDA$，进而得到两边相等，即可证明$△ ADF$为等腰三角形。
【解析】
(1) 已知$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$，计算边的平方可得：
$BE^2+DE^2=2^2+(\sqrt{5})^2=4+5=9$，$BD^2=3^2=9$，
因此$BE^2+DE^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BDE$是直角三角形，且$∠ BED=90°$，故$DE⊥BC$。
(2) 由(1)得$DE⊥BC$，因此$∠ BDE+∠ B=90°$，$∠ F+∠ C=90°$。
因为$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ B=∠ C$，
因此$∠ F=∠ BDE$（等角的余角相等）。
又因为$∠ BDE$和$∠ FDA$是对顶角，所以$∠ BDE=∠ FDA$，
等量代换得$∠ F=∠ FDA$，根据等角对等边可得$AF=AD$，即$△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
(1)$\because BD=3$,$BE=2$,$DE=\sqrt{5}$,$\therefore BE^2+DE^2=9=BD^2$,$\therefore△ BDE$ 是直角三角形,$∠ BED=90°$,$\therefore DE\bot BC$.
(2)由(1)得,$DE\bot BC$,$\therefore ∠ BDE+∠ B=90°$,$∠ F+∠ C=90°$. 又$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$,$\therefore ∠ F=∠ BDE$. 又$\because ∠ BDE=∠ FDA$,$\therefore ∠ F=∠ FDA$,$\therefore AF=AD$,即$△ ADF$ 是等腰三角形.
【知识点】
勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、等角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查核心定理的基础应用，解题逻辑链条清晰，关键是先通过边长关系推导垂直结论，再结合角的等量代换完成等腰三角形的判定，注重对基础定理运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
