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7 教材 P150 习题 T3 变式 如图所示的正方体的表面展开图为 （
A
B
C
D
A
）A
B
C
D
答案
7. A
解析
【分析】
解决这类正方体展开图匹配题，可按三步思考：第一步先排查图案本身错误的选项，直接排除不符合的；第二步利用正方体展开图相对面的判断规律（“一四一”型展开图中，中间4个面间隔1个的为相对面，上下两个面为相对面），原正方体中“＜”“○”“=”三个面两两相邻，因此三个面不能是相对面，据此排除相对面矛盾的选项；第三步验证剩余选项的图案朝向和位置是否和原正方体一致，最终确定正确答案。
【解析】
首先观察原正方体特征：带“＜”“○”“=”的三个面两两相邻，且“＜”的开口朝向“○”所在的面。
1. 排除选项C：其顶面符号为“∧”，与原正方体的“＜”符号不符，直接排除。
2. 排除选项B：该展开图是“一四一”型，“＜”和“=”分别在中间4个面的第1位和第3位，二者是相对面，和原正方体中两个面相邻的特征矛盾，排除。
3. 排除选项D：“＜”所在的面连接在“=”的下方，折叠后“＜”位于正方体的底面，且开口朝向与原正方体不符，排除。
4. 验证选项A：折叠后三个带图案的面两两相邻，“＜”的朝向也和原正方体一致，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面展开图，相对面判断
【点评】
本题考查正方体展开图的还原，解题时可通过“先排图案错误、再判相对面、最后验朝向”的步骤快速筛选答案，熟练掌握展开图相对面的规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决这类正方体展开图匹配题，可按三步思考：第一步先排查图案本身错误的选项，直接排除不符合的；第二步利用正方体展开图相对面的判断规律（“一四一”型展开图中，中间4个面间隔1个的为相对面，上下两个面为相对面），原正方体中“＜”“○”“=”三个面两两相邻，因此三个面不能是相对面，据此排除相对面矛盾的选项；第三步验证剩余选项的图案朝向和位置是否和原正方体一致，最终确定正确答案。
【解析】
首先观察原正方体特征：带“＜”“○”“=”的三个面两两相邻，且“＜”的开口朝向“○”所在的面。
1. 排除选项C：其顶面符号为“∧”，与原正方体的“＜”符号不符，直接排除。
2. 排除选项B：该展开图是“一四一”型，“＜”和“=”分别在中间4个面的第1位和第3位，二者是相对面，和原正方体中两个面相邻的特征矛盾，排除。
3. 排除选项D：“＜”所在的面连接在“=”的下方，折叠后“＜”位于正方体的底面，且开口朝向与原正方体不符，排除。
4. 验证选项A：折叠后三个带图案的面两两相邻，“＜”的朝向也和原正方体一致，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面展开图，相对面判断
【点评】
本题考查正方体展开图的还原，解题时可通过“先排图案错误、再判相对面、最后验朝向”的步骤快速筛选答案，熟练掌握展开图相对面的规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8 [2025 徐州]如图所示为一个正方体的表面展开图,将其折成一个正方体,所得图形可能是 (
B
)答案
8. B
解析
【分析】
这是正方体展开图折叠类题目，核心解题思路是利用“正方体折叠后相对面不相邻”的规律，结合排除法快速求解。首先识别展开图的面的特征：包含1个带交叉（×）的面、1个带两条平行横线的面、2个带单条横线的面、2个空白面。第一步先确定各对相对面，排除出现相对面相邻的错误选项，再验证剩余选项即可得到正确答案。
【解析】
我们通过排除法逐步分析：
1. 首先判断相对面关系：正方体展开图中，带“×”图案的面和带两条平行横线的面是相对面，折叠后二者不可能相邻。
观察选项A、D，二者的正面都是带×的面，顶面都是带两条横线的面，两个相对面相邻，不符合折叠规律，因此排除A、D。
2. 再分析剩余的B、C选项：2个带单条横线的面也是相对面，折叠后不可能相邻。
观察选项C，正面和右侧面都是带单条横线的面，二者相邻，不符合相对面不相邻的规律，因此排除C。
只有B选项的面的相邻关系完全符合折叠规律。
【答案】
B
【知识点】
正方体展开图折叠、相对面识别
【点评】
本题是正方体展开图的典型考题，熟练掌握“相对面不相邻”的规律就能快速用排除法解题，能很好地考查学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
这是正方体展开图折叠类题目，核心解题思路是利用“正方体折叠后相对面不相邻”的规律，结合排除法快速求解。首先识别展开图的面的特征：包含1个带交叉（×）的面、1个带两条平行横线的面、2个带单条横线的面、2个空白面。第一步先确定各对相对面，排除出现相对面相邻的错误选项，再验证剩余选项即可得到正确答案。
【解析】
我们通过排除法逐步分析：
1. 首先判断相对面关系：正方体展开图中，带“×”图案的面和带两条平行横线的面是相对面，折叠后二者不可能相邻。
观察选项A、D，二者的正面都是带×的面，顶面都是带两条横线的面，两个相对面相邻，不符合折叠规律，因此排除A、D。
2. 再分析剩余的B、C选项：2个带单条横线的面也是相对面，折叠后不可能相邻。
观察选项C，正面和右侧面都是带单条横线的面，二者相邻，不符合相对面不相邻的规律，因此排除C。
只有B选项的面的相邻关系完全符合折叠规律。
【答案】
B
【知识点】
正方体展开图折叠、相对面识别
【点评】
本题是正方体展开图的典型考题，熟练掌握“相对面不相邻”的规律就能快速用排除法解题，能很好地考查学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
9 如图所示为一个几何体的表面展开图.
（1）将它折叠能得到的几何体名称是________；
（2）若要把这个几何体重新展开，则最少需要剪开________条棱.
（1）将它折叠能得到的几何体名称是________；
（2）若要把这个几何体重新展开，则最少需要剪开________条棱.
答案
9.（1）三棱柱 （2）5
解析
【分析】
（1）判断折叠后的几何体时，先观察展开图的面的形状与数量：该展开图包含2个全等的三角形，还有3个长方形，结合常见棱柱的展开图特征，底面为三角形的棱柱是三棱柱，即可得出结论。
（2）计算最少剪开的棱数时，首先明确三棱柱的总棱数，再思考将几何体展开为一个连通的平面图形时，未剪开的棱的数量：5个面连成一个整体，需要4条棱作为相邻面的公共棱（未剪开），用总棱数减去未剪开的棱数，即可得到最少剪开的棱数。
【解析】
（1）该展开图的两个三角形可作为几何体的上下底面，三个长方形可作为侧面，符合三棱柱的表面展开图特点，因此折叠后得到的几何体是三棱柱。
（2）首先计算三棱柱的总棱数：上下两个三角形底面各有3条棱，侧面有3条连接上下底面的棱，总棱数为 $3×2 + 3 = 9$ 条。
将三棱柱展开为一个完整的平面展开图时，5个面需要连为一个整体，相邻两个面共用1条未剪开的棱，因此未剪开的棱共有 $5 - 1 = 4$ 条。
则最少需要剪开的棱数为 $9 - 4 = 5$ 条。
【答案】
（1）三棱柱；（2）5
【知识点】
几何体的展开与折叠；棱柱的特征
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，需要熟练掌握常见几何体的展开图特点，结合几何体的结构特征分析剪开棱的数量，是立体图形与平面图形转化的基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）判断折叠后的几何体时，先观察展开图的面的形状与数量：该展开图包含2个全等的三角形，还有3个长方形，结合常见棱柱的展开图特征，底面为三角形的棱柱是三棱柱，即可得出结论。
（2）计算最少剪开的棱数时，首先明确三棱柱的总棱数，再思考将几何体展开为一个连通的平面图形时，未剪开的棱的数量：5个面连成一个整体，需要4条棱作为相邻面的公共棱（未剪开），用总棱数减去未剪开的棱数，即可得到最少剪开的棱数。
【解析】
（1）该展开图的两个三角形可作为几何体的上下底面，三个长方形可作为侧面，符合三棱柱的表面展开图特点，因此折叠后得到的几何体是三棱柱。
（2）首先计算三棱柱的总棱数：上下两个三角形底面各有3条棱，侧面有3条连接上下底面的棱，总棱数为 $3×2 + 3 = 9$ 条。
将三棱柱展开为一个完整的平面展开图时，5个面需要连为一个整体，相邻两个面共用1条未剪开的棱，因此未剪开的棱共有 $5 - 1 = 4$ 条。
则最少需要剪开的棱数为 $9 - 4 = 5$ 条。
【答案】
（1）三棱柱；（2）5
【知识点】
几何体的展开与折叠；棱柱的特征
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，需要熟练掌握常见几何体的展开图特点，结合几何体的结构特征分析剪开棱的数量，是立体图形与平面图形转化的基础题型。
【难度系数】
0.7
10 如图,在横线上填上适当的代数式,使等式成立:$(a-b)^2=a^2-2ab+$
$b^2$
.答案
10. $b^2$
解析
【分析】
解题时可以从两个思路入手：一是回忆已学的完全平方差公式的结构，直接对应等式找出缺失的项；二是利用多项式乘多项式的运算法则，将左边的$(a-b)^2$展开，再和等式右边的已有项对比，得到需要填写的代数式，两种方法都能快速得出结果，其中熟记完全平方公式是最简便的方法。
【解析】
方法1：根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比题目给出的等式$a^2-2ab+$____，可知横线上应填$b^2$。
方法2（推导验证）：将$(a-b)^2$转化为多项式乘法计算：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=(a-b)(a-b)\\&=a· a - a· b - b· a + b· b\\&=a^2 - ab - ab + b^2\\&=a^2 - 2ab + b^2\end{aligned}$
对比后可得横线上的代数式为$b^2$。
【答案】
$b^2$
【知识点】
完全平方差公式、多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对完全平方公式结构的掌握程度，只要牢记完全平方和、差公式的形式，就能快速解答，也可通过多项式乘法的推导验证结果，避免公式记错导致出错。
【难度系数】
0.9
解题时可以从两个思路入手：一是回忆已学的完全平方差公式的结构，直接对应等式找出缺失的项；二是利用多项式乘多项式的运算法则，将左边的$(a-b)^2$展开，再和等式右边的已有项对比，得到需要填写的代数式，两种方法都能快速得出结果，其中熟记完全平方公式是最简便的方法。
【解析】
方法1：根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比题目给出的等式$a^2-2ab+$____，可知横线上应填$b^2$。
方法2（推导验证）：将$(a-b)^2$转化为多项式乘法计算：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=(a-b)(a-b)\\&=a· a - a· b - b· a + b· b\\&=a^2 - ab - ab + b^2\\&=a^2 - 2ab + b^2\end{aligned}$
对比后可得横线上的代数式为$b^2$。
【答案】
$b^2$
【知识点】
完全平方差公式、多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对完全平方公式结构的掌握程度，只要牢记完全平方和、差公式的形式，就能快速解答，也可通过多项式乘法的推导验证结果，避免公式记错导致出错。
【难度系数】
0.9
11 如图,一个长方体的表面展开图中四边形ABCD是正方形,则根据图中数据可得原长方体的表面积为________ cm$^2$.
答案
11. 38 【解析】如图,根据长方体的特征,得 $AD=AE=8÷2=4$(cm).因为四边形ABCD是正方形,所以 $CD=AD=4$ cm.所以长方体的高为$(6-4)÷2=1$(cm).所以 $EF=4-1=3$(cm).所以原长方体的表面积为$(3×4+3×1+4×1)×2=38(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确长方体展开图各边和长方体长宽高的对应关系：首先观察水平方向总长度为8cm，由展开图特征可知AD与右侧等长的线段相加为8cm，可先求出AD的长度；再结合四边形ABCD是正方形的条件，得到CD的长度即长方体的长；随后观察竖直方向总高度6cm，该长度是长方体的长加2倍的高，可求出长方体的高；再求出长方体的宽，最后代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
根据长方体表面展开图的特征，水平方向总长度为8cm，可得：
$AD=AE=8÷2=4\ \mathrm{cm}$
∵四边形ABCD是正方形
∴$CD=AD=4\ \mathrm{cm}$
竖直方向总高度为6cm，该长度等于CD的长度与2倍长方体的高之和，因此长方体的高为：
$(6-4)÷2=1\ \mathrm{cm}$
由此可得长方体的第三条棱长$EF=4-1=3\ \mathrm{cm}$
根据长方体表面积公式$S=2(ab+ac+bc)$（a、b、c为长方体的三条棱长），代入数据计算：
$S=(3×4+3×1+4×1)×2=(12+3+4)×2=19×2=38(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
38
【知识点】
长方体展开图；正方形的性质；长方体表面积计算
【点评】
本题结合长方体展开图与正方形性质考查几何计算，解题关键是准确梳理展开图边长与长方体长宽高的对应关系，能有效考查学生的空间想象能力和图形分析能力，属于基础拓展类题型。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确长方体展开图各边和长方体长宽高的对应关系：首先观察水平方向总长度为8cm，由展开图特征可知AD与右侧等长的线段相加为8cm，可先求出AD的长度；再结合四边形ABCD是正方形的条件，得到CD的长度即长方体的长；随后观察竖直方向总高度6cm，该长度是长方体的长加2倍的高，可求出长方体的高；再求出长方体的宽，最后代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
根据长方体表面展开图的特征，水平方向总长度为8cm，可得：
$AD=AE=8÷2=4\ \mathrm{cm}$
∵四边形ABCD是正方形
∴$CD=AD=4\ \mathrm{cm}$
竖直方向总高度为6cm，该长度等于CD的长度与2倍长方体的高之和，因此长方体的高为：
$(6-4)÷2=1\ \mathrm{cm}$
由此可得长方体的第三条棱长$EF=4-1=3\ \mathrm{cm}$
根据长方体表面积公式$S=2(ab+ac+bc)$（a、b、c为长方体的三条棱长），代入数据计算：
$S=(3×4+3×1+4×1)×2=(12+3+4)×2=19×2=38(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
38
【知识点】
长方体展开图；正方形的性质；长方体表面积计算
【点评】
本题结合长方体展开图与正方形性质考查几何计算，解题关键是准确梳理展开图边长与长方体长宽高的对应关系，能有效考查学生的空间想象能力和图形分析能力，属于基础拓展类题型。
【难度系数】
0.6
12 教材 P148“探究”变式 如图,由图①、图②和图③中小正方形个数的关系,得到$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$.类似地,继续结合图形验证你的猜想,并应用其蕴含的规律求$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3$的值(结果保留幂的形式).
答案
12. 从所给图形可知，$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$,类似地,可得 $1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2$,$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2$,$\dots$,所以 $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2$($n$ 是正整数).当 $n=100$ 时,$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3=(1+2+3+\dots+100)^2=5\ 050^2$
解析
【分析】
首先观察题目给出的图形与等式示例，发现$1^3+2^3$的结果等于1与2的和的平方，我们可以延续这个思路验证更大数字的情况，归纳得到从1到n的正整数立方和的通用规律，再将n=100代入规律，先计算1到100的整数和，最后对和做平方运算即可得到结果。
【解析】
根据题目给出的等式：$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$，
进一步验证可得：$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2$，$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2$，
由此归纳通用规律：对于任意正整数n，有$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$。
当n=100时，先计算1到100的和：$1+2+3+\dots+100=\frac{(1+100)×100}{2}=5050$，
因此$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3=(1+2+\dots+100)^2=5050^2$。
【答案】
$5050^2$
【知识点】
乘方运算，规律探究，整数求和
【点评】
本题借助数形结合的形式引导探索立方和的运算规律，解题核心是准确归纳出前n个正整数的立方和等于前n个正整数和的平方这一结论，再代入对应数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的图形与等式示例，发现$1^3+2^3$的结果等于1与2的和的平方，我们可以延续这个思路验证更大数字的情况，归纳得到从1到n的正整数立方和的通用规律，再将n=100代入规律，先计算1到100的整数和，最后对和做平方运算即可得到结果。
【解析】
根据题目给出的等式：$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$，
进一步验证可得：$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2$，$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2$，
由此归纳通用规律：对于任意正整数n，有$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$。
当n=100时，先计算1到100的和：$1+2+3+\dots+100=\frac{(1+100)×100}{2}=5050$，
因此$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3=(1+2+\dots+100)^2=5050^2$。
【答案】
$5050^2$
【知识点】
乘方运算，规律探究，整数求和
【点评】
本题借助数形结合的形式引导探索立方和的运算规律，解题核心是准确归纳出前n个正整数的立方和等于前n个正整数和的平方这一结论，再代入对应数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
13 如图,长方形的长为$a$,宽为$b(a＞b)$,将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周,得到两个圆柱甲、乙,则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（
A.甲、乙的侧面积相同,体积不同
B.甲、乙的侧面积相同,体积也相同
C.甲、乙的侧面积不相同,体积相同
D.甲、乙的侧面积不相同,体积也不相同
A
）A.甲、乙的侧面积相同,体积不同
B.甲、乙的侧面积相同,体积也相同
C.甲、乙的侧面积不相同,体积相同
D.甲、乙的侧面积不相同,体积也不相同
答案
13. A 【解析】甲的底面直径是 $2b$,高是 $a$,侧面积为 $2π ab$,体积为 $π ab^2$,乙的底面直径是 $2a$,高是 $b$,侧面积为 $2π ab$,体积为 $π a^2 b$,所以甲、乙的侧面积相同,体积不同.
解析
【分析】
解题时首先要明确长方形绕不同边旋转时，圆柱的底面半径和高分别对应长方形的哪条边：绕长所在直线旋转时，宽是底面半径，长是圆柱的高；绕宽所在直线旋转时，长是底面半径，宽是圆柱的高。接下来分别代入圆柱侧面积公式、体积公式计算两个圆柱的侧面积和体积，最后对比结果即可得出结论。
【解析】
先计算圆柱甲的相关量：
甲是长方形绕长$a$所在直线旋转得到的，因此底面半径$r_1=b$，高$h_1=a$。
侧面积$S_1=2π r_1h_1=2π× b× a=2π ab$；
体积$V_1=π r_1^2h_1=π× b^2× a=π ab^2$。
再计算圆柱乙的相关量：
乙是长方形绕宽$b$所在直线旋转得到的，因此底面半径$r_2=a$，高$h_2=b$。
侧面积$S_2=2π r_2h_2=2π× a× b=2π ab$；
体积$V_2=π r_2^2h_2=π× a^2× b=π a^2b$。
对比可得：$S_1=S_2$，即侧面积相同；因为$a＞b$，所以$π ab^2≠π a^2b$，即体积不同。
综上应选A。
【答案】
A
【知识点】
面动成体；圆柱侧面积计算；圆柱体积计算
【点评】
本题考查旋转体的相关计算，解题关键是准确判断不同旋转方式下圆柱的底面半径和高，再代入对应公式计算比较，避免混淆旋转轴对应的参数。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确长方形绕不同边旋转时，圆柱的底面半径和高分别对应长方形的哪条边：绕长所在直线旋转时，宽是底面半径，长是圆柱的高；绕宽所在直线旋转时，长是底面半径，宽是圆柱的高。接下来分别代入圆柱侧面积公式、体积公式计算两个圆柱的侧面积和体积，最后对比结果即可得出结论。
【解析】
先计算圆柱甲的相关量：
甲是长方形绕长$a$所在直线旋转得到的，因此底面半径$r_1=b$，高$h_1=a$。
侧面积$S_1=2π r_1h_1=2π× b× a=2π ab$；
体积$V_1=π r_1^2h_1=π× b^2× a=π ab^2$。
再计算圆柱乙的相关量：
乙是长方形绕宽$b$所在直线旋转得到的，因此底面半径$r_2=a$，高$h_2=b$。
侧面积$S_2=2π r_2h_2=2π× a× b=2π ab$；
体积$V_2=π r_2^2h_2=π× a^2× b=π a^2b$。
对比可得：$S_1=S_2$，即侧面积相同；因为$a＞b$，所以$π ab^2≠π a^2b$，即体积不同。
综上应选A。
【答案】
A
【知识点】
面动成体；圆柱侧面积计算；圆柱体积计算
【点评】
本题考查旋转体的相关计算，解题关键是准确判断不同旋转方式下圆柱的底面半径和高，再代入对应公式计算比较，避免混淆旋转轴对应的参数。
【难度系数】
0.7
