1. 下列式子：① $5 ＜ 7$；② $2x ＜ 3$；③ $a ≠ 0$；④ $x ≥ -5$；⑤ $3x - 1$；⑥ $\frac{π}{2} ≤ 3$；⑦ $x = 3$。其中是不等式的有()
A. 3 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 6 个

1. C

2. 不等式组 $\begin{cases}2x - 1 ≤ 3 \\ x ＞ -1\end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是( )

A.
B.
C.
D.

2. A 点拨:由$2x - 1 ≤ 3$，解得$x ≤ 2$，又$x ＞ -1$，所以原不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 2$。显然在数轴上表示如答图11 - 1所示，故选A。

3. 小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 3 元，每支钢笔 5 元，求小明最多能买多少支钢笔。设小明能买 $x$ 支钢笔，则依题意可列出的不等式为()
A. $3x + 5(30 - x) ≤ 100$
B. $3(30 - x) + 5x ≤ 100$
C. $5(30 - x) ≤ 100 + 3x$
D. $5x ≤ 100 - 3(30 + x)$

3. B

4. 方程 $x + 2k = 4(x + k) + 1$ 有正数解，则 $k$ 的取值范围是()
A. $k ＜ -\frac{1}{3}$
B. $k ＞ -\frac{1}{3}$
C. $k ＜ -\frac{1}{2}$
D. $k ＞ -\frac{1}{2}$

4. C

5. 若不等式组 $\begin{cases}x + 7 ＜ 3x - 7 \\ x ＞ n\end{cases}$ 的解集是 $x ＞ 7$，则 $n$ 的取值范围是( )
A. $n ≥ 7$
B. $n ≤ 7$
C. $n = 7$
D. $n ＜ 7$

5. B 点拨:由不等式$x + 7 ＜ 3x - 7$，得$x ＞ 7$，又$\begin{cases} x + 7 ＜ 3x - 7 \\ x ＞ n \end{cases}$的解集是$x ＞ 7$，所以$n ≤ 7$，故选B。

1. 若关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}2x - 1 ＞ 4x + 5 \\ x - m ＞ -1\end{cases}$ 无解，则 $m$ 的取值范围是 ______ 。

1. $m ≥ -2$ 点拨:由$2x - 1 ＞ 4x + 5$，得$x ＜ -3$，由$x - m ＞ -1$，得$x ＞ m - 1$，又由于原不等式组无解，则$m - 1 ≥ -3$，解得$m ≥ -2$。

2. 当 $a$时，代数式 $\frac{2(a - 1)}{3}$ 的值不小于代数式 $1 - \frac{5a - 1}{6}$ 的值。

2. $≥ \frac{11}{9}$

3. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}x - a ＞ 0 \\ 3 - 2x ＞ 0\end{cases}$ 的整数解共有 6 个，则 $a$ 的取值范围是 ______ 。

3. $-5 ≤ a ＜ -4$ 点拨:不等式组的解集为$a ＜ x ＜ \frac{3}{2}$，由此可知6个整数解为1，0，$-1$，$-2$，$-3$，$-4$，故$-5 ≤ a ＜ -4$。

4. 现用甲、乙两种运输车将 46 吨物资运往城区，甲种运输车载质量为 5 吨，乙种运输车载质量为 4 吨，安排车辆不超过 10 辆，则甲种运输车至少应安排辆。

4. 6

三、解答题
1. 解不等式（组），并在数轴上表示其解集：
(1) $4(x - 1) ＞ 5x - 6$；
(2) $\begin{cases}2(x + 1) ≤ x + 3 \\ x - 4 ＜ 3x\end{cases}$。
2. 已知关于 $x$ 的一元一次不等式 $mx - 3 ＞ 2x + m$。
(1) 若 $x = 2$ 是它的一个解，求 $m$ 的取值范围；
(2) 若它的解集是 $x ＜ \frac{m + 3}{m - 2}$，求 $m$ 的取值范围。
3. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品，已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元，购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元。
(1) 求 A，B 两种奖品的单价；
(2) 学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 $\frac{1}{3}$，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由。
4. 某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额。

注：$300 ∼ 400$ 表示消费金额大于 300 元且小于或等于 400 元，其他类同。
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为 $400 × (1 - 80\%) + 30 = 110$（元）。
(1) 购买一件标价为 1000 元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
(2) 如果顾客购买标价不超过 800 元的商品，要使获得的优惠额不少于 226 元，那么该商品的标价至少为多少元？

1. 解:(1)$4x - 4 ＞ 5x - 6$，$4x - 5x ＞ -6 + 4$，$-x ＞ -2$，$x ＜ 2$，在数轴上表示略。
(2)由$2(x + 1) ≤ x + 3$，得$x ≤ 1$，由$x - 4 ＜ 3x$，得$x ＞ -2$，所以原不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 1$，在数轴上表示略。
2. 解:(1)若$x = 2$是它的一个解，则$2m - 3 ＞ 4 + m$，即$2m - m ＞ 4 + 3$，所以$m ＞ 7$。
(2)不等式$mx - 3 ＞ 2x + m$，整理，得$(m - 2)x ＞ m + 3$。因为一元一次不等式$mx - 3 ＞ 2x + m$的解集是$x ＜ \frac{m + 3}{m - 2}$，所以$m - 2 ＜ 0$。所以$m$的取值范围是$m ＜ 2$。
3. 解:(1)设A，B两种奖品的单价分别为$x$元/个、$y$元/个。根据题意，得$\begin{cases} 3x + 2y = 120 \\ 5x + 4y = 210 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 30 \\ y = 15 \end{cases}$，A，B两种奖品的单价分别为30元/个、15元/个。
(2)因为$30 ＞ 15$，所以购买的A奖品越少越省钱。设购买A奖品$z$个，则购买B奖品$(30 - z)$个。根据题意，得$z ≥ \frac{1}{3}(30 - z)$，解得$z ≥ 7.5$。又因为$z$为整数，所以$z$最小值$ = 8$，此时$30 - z = 22$，所以最省钱的购买方案为购买A奖品8个，B奖品22个。
4. 解:(1)购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元。顾客获得的优惠额为$1000×(1 - 80\%) + 150 = 350$(元)。
(2)设该商品的标价为$x$元。当$80\%x ≤ 500$，即$x ≤ 625$时，顾客获得的优惠额不超过$625×(1 - 80\%) + 60 = 185$(元)，小于226元，不符合；当$500 ＜ 80\%x ≤ 600$，即$625 ＜ x ≤ 750$时，由$(1 - 80\%)x + 100 ≥ 226$，解得$x ≥ 630$。所以$630 ≤ x ≤ 750$。当$600 ＜ 80\%x ≤ 800×80\%$，即$750 ＜ x ≤ 800$时，顾客获得的优惠额大于$750×(1 - 80\%) + 130 = 280$(元)，超过226元，符合。综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元。