登录
4. 若 $(2xy^{2})^{3} · \frac{1}{4}(x^{m}y^{n})^{2} = 2x^{7}y^{8}$，则(
A.$m = 4$，$n = 2$
B.$m = 3$，$n = 3$
C.$m = 2$，$n = 1$
D.$m = 3$，$n = 1$
C
)。A.$m = 4$，$n = 2$
B.$m = 3$，$n = 3$
C.$m = 2$，$n = 1$
D.$m = 3$，$n = 1$
答案
4. C
解析
$(2xy^{2})^{3} · \frac{1}{4}(x^{m}y^{n})^{2}$
$=8x^{3}y^{6}·\frac{1}{4}x^{2m}y^{2n}$
$=2x^{3+2m}y^{6+2n}$
因为$2x^{3+2m}y^{6+2n}=2x^{7}y^{8}$，所以可得：
$\begin{cases}3 + 2m = 7\\6 + 2n = 8\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 2\ = 1\end{cases}$
C
$=8x^{3}y^{6}·\frac{1}{4}x^{2m}y^{2n}$
$=2x^{3+2m}y^{6+2n}$
因为$2x^{3+2m}y^{6+2n}=2x^{7}y^{8}$，所以可得：
$\begin{cases}3 + 2m = 7\\6 + 2n = 8\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 2\ = 1\end{cases}$
C
5. 计算：
(1) $3ab^{2} · a^{5}b$；
(2) $(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2} · (-x^{2}) · (-y)^{3}$。
(1) $3ab^{2} · a^{5}b$；
(2) $(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2} · (-x^{2}) · (-y)^{3}$。
答案
5. 解：(1) 原式$=3a^{6}b^{3}$。
(2) 原式$=-8x^{6}y^{3}+8x^{4}· (-x^{2})· (-y^{3})=-8x^{6}y^{3}+8x^{6}y^{3}=0$。
(2) 原式$=-8x^{6}y^{3}+8x^{4}· (-x^{2})· (-y^{3})=-8x^{6}y^{3}+8x^{6}y^{3}=0$。
解析
【分析】
这是整式的基础运算题，解题思路如下：
1. 第(1)小题是单项式乘单项式运算，按照单项式乘法法则，先将两个单项式的系数相乘，再把同底数幂分别相乘，底数不变指数相加，直接整理即可得到结果。
2. 第(2)小题是整式的混合运算，遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：先分别计算积的乘方、幂的乘方，再计算后续的单项式乘法，最后合并同类项得到最终结果，计算过程中要格外注意负数乘方的符号处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 计算$3ab^{2} · a^{5}b$：
根据单项式乘法法则，系数相乘得3，同底数幂$a$的指数相加：$1+5=6$，同底数幂$b$的指数相加：$2+1=3$，
因此原式$=3· a^{1+5}· b^{2+1}=3a^{6}b^{3}$。
(2) 计算$(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2} · (-x^{2}) · (-y)^{3}$：
第一步，先计算所有乘方部分：
根据积的乘方法则，$(-2x^{2}y)^{3}=(-2)^3· (x^2)^3· y^3=-8x^6y^3$；
根据幂的乘方法则，$(x^2)^2=x^{2×2}=x^4$，$(-y)^3=-y^3$；
代入原式得：
原式$=-8x^6y^3 + 8x^4 · (-x^2) · (-y^3)$
第二步，计算中间的单项式乘法：
$8x^4 · (-x^2) · (-y^3)=8×(-1)×(-1)· x^{4+2}· y^3=8x^6y^3$
第三步，合并同类项：
原式$=-8x^6y^3 + 8x^6y^3=0$
【答案】
(1) $3a^{6}b^{3}$；(2) $0$
【知识点】
单项式乘单项式，积的乘方，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础巩固题，综合考察了幂的相关运算法则，易错点是运算过程中符号的判断，比如负数的奇次幂符号、多个负因数相乘的符号处理，只要牢记运算顺序和运算法则，仔细计算就不容易出错。
【难度系数】
0.8
这是整式的基础运算题，解题思路如下：
1. 第(1)小题是单项式乘单项式运算，按照单项式乘法法则，先将两个单项式的系数相乘，再把同底数幂分别相乘，底数不变指数相加，直接整理即可得到结果。
2. 第(2)小题是整式的混合运算，遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：先分别计算积的乘方、幂的乘方，再计算后续的单项式乘法，最后合并同类项得到最终结果，计算过程中要格外注意负数乘方的符号处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 计算$3ab^{2} · a^{5}b$：
根据单项式乘法法则，系数相乘得3，同底数幂$a$的指数相加：$1+5=6$，同底数幂$b$的指数相加：$2+1=3$，
因此原式$=3· a^{1+5}· b^{2+1}=3a^{6}b^{3}$。
(2) 计算$(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2} · (-x^{2}) · (-y)^{3}$：
第一步，先计算所有乘方部分：
根据积的乘方法则，$(-2x^{2}y)^{3}=(-2)^3· (x^2)^3· y^3=-8x^6y^3$；
根据幂的乘方法则，$(x^2)^2=x^{2×2}=x^4$，$(-y)^3=-y^3$；
代入原式得：
原式$=-8x^6y^3 + 8x^4 · (-x^2) · (-y^3)$
第二步，计算中间的单项式乘法：
$8x^4 · (-x^2) · (-y^3)=8×(-1)×(-1)· x^{4+2}· y^3=8x^6y^3$
第三步，合并同类项：
原式$=-8x^6y^3 + 8x^6y^3=0$
【答案】
(1) $3a^{6}b^{3}$；(2) $0$
【知识点】
单项式乘单项式，积的乘方，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础巩固题，综合考察了幂的相关运算法则，易错点是运算过程中符号的判断，比如负数的奇次幂符号、多个负因数相乘的符号处理，只要牢记运算顺序和运算法则，仔细计算就不容易出错。
【难度系数】
0.8
6. 若$ x^{3} · x^{m}y^{2n} = x^{9}y^{8}$，则 4m - 3n = (
A.8
B.9
C.10
D.12
D
) )。A.8
B.9
C.10
D.12
答案
6. D
解析
因为$x^{3} · x^{m}y^{2n} = x^{3 + m}y^{2n}$，又因为$x^{3} · x^{m}y^{2n} = x^{9}y^{8}$，所以$3 + m = 9$，$2n = 8$。解得$m = 6$，$n = 4$。则$4m - 3n = 4×6 - 3×4 = 24 - 12 = 12$。
D
D
7. 下列计算错误的有(
① $(3xy^{2})^{3} = 27x^{3}y^{6}$；② $(-a^{2})^{3} = a^{6}$；③ $x^{12} ÷ x^{4} = x^{3}$；④ $2x^{3} · 3x^{4} = 6x^{12}$。
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
C
)。① $(3xy^{2})^{3} = 27x^{3}y^{6}$；② $(-a^{2})^{3} = a^{6}$；③ $x^{12} ÷ x^{4} = x^{3}$；④ $2x^{3} · 3x^{4} = 6x^{12}$。
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案
7. C
解析
① $(3xy^{2})^{3}=3^{3}x^{3}(y^{2})^{3}=27x^{3}y^{6}$，正确；
② $(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，错误；
③ $x^{12}÷x^{4}=x^{12-4}=x^{8}$，错误；
④ $2x^{3}·3x^{4}=6x^{3+4}=6x^{7}$，错误。
错误的有②③④，共3个。
C
② $(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，错误；
③ $x^{12}÷x^{4}=x^{12-4}=x^{8}$，错误；
④ $2x^{3}·3x^{4}=6x^{3+4}=6x^{7}$，错误。
错误的有②③④，共3个。
C
8. 若两单项式 $a^{x}b^{2}$，$2ab^{x + y}$ 是同类项，则这两个单项式的乘积是
$2a^{2}b^{4}$
。答案
8. $2a^{2}b^{4}$
解析
因为两单项式$a^{x}b^{2}$，$2ab^{x + y}$是同类项，所以相同字母的指数相同，即$x = 1$，$x + y=2$。
由$x = 1$，代入$x + y=2$，得$1 + y=2$，解得$y = 1$。
则这两个单项式分别为$a^{1}b^{2}=ab^{2}$和$2ab^{1 + 1}=2ab^{2}$。
它们的乘积为$ab^{2} × 2ab^{2}=2a^{1 + 1}b^{2 + 2}=2a^{2}b^{4}$。
$2a^{2}b^{4}$
由$x = 1$，代入$x + y=2$，得$1 + y=2$，解得$y = 1$。
则这两个单项式分别为$a^{1}b^{2}=ab^{2}$和$2ab^{1 + 1}=2ab^{2}$。
它们的乘积为$ab^{2} × 2ab^{2}=2a^{1 + 1}b^{2 + 2}=2a^{2}b^{4}$。
$2a^{2}b^{4}$
9. 已知 $(mx^{3})^{3} · (-2x^{k}) = -16x^{15}$，则 $m =$
2
，$k =$6
。答案
9. 2 6
解析
$(mx^{3})^{3} · (-2x^{k}) = m^{3}x^{9} · (-2x^{k}) = -2m^{3}x^{9 + k}$
因为$-2m^{3}x^{9 + k} = -16x^{15}$，所以$\begin{cases}-2m^{3} = -16 \\ 9 + k = 15\end{cases}$
由$-2m^{3} = -16$得$m^{3} = 8$，解得$m = 2$
由$9 + k = 15$得$k = 6$
2；6
因为$-2m^{3}x^{9 + k} = -16x^{15}$，所以$\begin{cases}-2m^{3} = -16 \\ 9 + k = 15\end{cases}$
由$-2m^{3} = -16$得$m^{3} = 8$，解得$m = 2$
由$9 + k = 15$得$k = 6$
2；6
10. 先化简，再求值：$(-\frac{1}{2}a^{3}b) · (2bc^{2})^{3} · (\frac{1}{2}a)^{2} · (-bc)^{3}$，其中 $a = -1$，$b = 1$，$c = -1$。
答案
10. 解：$(-\frac {1}{2}a^{3}b)· (2bc^{2})^{3}· (\frac {1}{2}a)^{2}· (-bc)^{3}$
$=-\frac {1}{2}×2^{3}×(\frac {1}{2})^{2}×(-1)^{3}· a^{3+2}b^{1+3}c^{6+3}$
$=a^{5}b^{7}c^{9}$。
将$a=-1$，$b=1$，$c=-1$代入，得
原式$=(-1)^{5}×1^{7}×(-1)^{9}=1$。
$=-\frac {1}{2}×2^{3}×(\frac {1}{2})^{2}×(-1)^{3}· a^{3+2}b^{1+3}c^{6+3}$
$=a^{5}b^{7}c^{9}$。
将$a=-1$，$b=1$，$c=-1$代入，得
原式$=(-1)^{5}×1^{7}×(-1)^{9}=1$。
解析
【分析】
这是一道整式的化简求值题，解题思路非常清晰：第一步先根据积的乘方运算法则，把所有带有乘方的因式先展开计算，优先处理$(2bc^2)^3$、$(\frac{1}{2}a)^2$、$(-bc)^3$这三个乘方项；第二步将所有因式的系数单独相乘，再按照同底数幂的乘法规则，分别把底数为a、b、c的幂的指数相加，合并得到最简整式；第三步将给定的a、b、c的数值代入最简整式计算最终结果，先化简再代入的方式比直接代入原式计算更简便，也能大幅降低计算出错的概率。
【解析】
解：
1. 先计算所有乘方项
根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(2bc^2)^3=2^3 · b^3 · (c^2)^3=8b^3c^6$
$(\frac{1}{2}a)^2=(\frac{1}{2})^2 · a^2=\frac{1}{4}a^2$
$(-bc)^3=(-1)^3 · b^3 · c^3=-b^3c^3$
2. 合并原式的系数和同底数幂
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&= -\frac{1}{2}a^3b · 8b^3c^6 · \frac{1}{4}a^2 · (-b^3c^3)\\&= (-\frac{1}{2} × 8 × \frac{1}{4} × (-1)) · a^{3+2} · b^{1+3+3} · c^{6+3}\\&=a^5b^7c^9\end{aligned}$
3. 代入数值计算
把$a=-1$，$b=1$，$c=-1$代入化简后的式子：
$原式=(-1)^5 × 1^7 × (-1)^9 = (-1) × 1 × (-1) = 1$
【答案】
化简结果为$a^5b^7c^9$，最终求值结果为$1$
【知识点】
积的乘方运算，同底数幂乘法，单项式乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础常规题型，核心考察幂的运算法则的综合应用，解题时要注意多个负系数相乘的符号判断，避免符号出错，先化简再代入的计算策略能有效降低运算量，减少不必要的计算失误，是整式求值类题目的通用优先思路。
【难度系数】
0.8
这是一道整式的化简求值题，解题思路非常清晰：第一步先根据积的乘方运算法则，把所有带有乘方的因式先展开计算，优先处理$(2bc^2)^3$、$(\frac{1}{2}a)^2$、$(-bc)^3$这三个乘方项；第二步将所有因式的系数单独相乘，再按照同底数幂的乘法规则，分别把底数为a、b、c的幂的指数相加，合并得到最简整式；第三步将给定的a、b、c的数值代入最简整式计算最终结果，先化简再代入的方式比直接代入原式计算更简便，也能大幅降低计算出错的概率。
【解析】
解：
1. 先计算所有乘方项
根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(2bc^2)^3=2^3 · b^3 · (c^2)^3=8b^3c^6$
$(\frac{1}{2}a)^2=(\frac{1}{2})^2 · a^2=\frac{1}{4}a^2$
$(-bc)^3=(-1)^3 · b^3 · c^3=-b^3c^3$
2. 合并原式的系数和同底数幂
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&= -\frac{1}{2}a^3b · 8b^3c^6 · \frac{1}{4}a^2 · (-b^3c^3)\\&= (-\frac{1}{2} × 8 × \frac{1}{4} × (-1)) · a^{3+2} · b^{1+3+3} · c^{6+3}\\&=a^5b^7c^9\end{aligned}$
3. 代入数值计算
把$a=-1$，$b=1$，$c=-1$代入化简后的式子：
$原式=(-1)^5 × 1^7 × (-1)^9 = (-1) × 1 × (-1) = 1$
【答案】
化简结果为$a^5b^7c^9$，最终求值结果为$1$
【知识点】
积的乘方运算，同底数幂乘法，单项式乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础常规题型，核心考察幂的运算法则的综合应用，解题时要注意多个负系数相乘的符号判断，避免符号出错，先化简再代入的计算策略能有效降低运算量，减少不必要的计算失误，是整式求值类题目的通用优先思路。
【难度系数】
0.8
11. 如图是某住宅的平面结构示意图，准备将地面铺上地砖，图中标注了有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：m）。
(1) 用代数式表示该住宅的总面积是多少？
(2) 当 $x = 4$，$y = 2$ 时，铺 $1m^{2}$ 地砖的平均费用为 $30$ 元，那么铺地砖的总费用是多少？
(1) 用代数式表示该住宅的总面积是多少？
(2) 当 $x = 4$，$y = 2$ 时，铺 $1m^{2}$ 地砖的平均费用为 $30$ 元，那么铺地砖的总费用是多少？
答案
11. 解：(1) 该住宅的面积为$2x· 4y+x· 2y+x· y+2x· 2y=8xy+2xy+xy+4xy=15xy(m^{2})$。
(2) 当$x=4$，$y=2$时，$15xy=15×4×2=120(m^{2})$，$120×30=3600$(元)。
所以，铺地砖的总费用是3600元。
(2) 当$x=4$，$y=2$时，$15xy=15×4×2=120(m^{2})$，$120×30=3600$(元)。
所以，铺地砖的总费用是3600元。
解析
【分析】
这道题的核心是利用长方形面积公式求解组合图形的总面积，再代入数值计算实际费用。解题时第一步，先把住宅拆分为客厅、厨房、卫生间、卧室四个独立的长方形区域，分别确定每个区域的长和宽，用长乘宽算出每个区域的面积，再将四个面积相加，合并同类项后就能得到总面积的代数式。第二步，把题目给出的x、y的数值代入已经得到的总面积代数式，先算出实际总面积，再用总面积乘每平方米地砖的费用，就能得到总铺砖费用，过程中注意不要搞错各个房间的边长，避免重复计算或者漏算面积。
【解析】
(1) 分别计算四个房间的面积：
客厅：长为4y，宽为2x，面积为$2x· 4y=8xy$
厨房：长为$4y-2y=2y$，宽为x，面积为$x· 2y=2xy$
卫生间：长为y，宽为$4x-2x-x=x$，面积为$x· y=xy$
卧室：长为2y，宽为$4x-2x=2x$，面积为$2x· 2y=4xy$
将四个区域面积相加，得到住宅总面积：
$S=8xy+2xy+xy+4xy=15xy\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 把$x=4$，$y=2$代入总面积代数式：
总面积$=15xy=15×4×2=120\ (\mathrm{m}^2)$
已知每平方米地砖费用为30元，总费用$=120×30=3600$元
【答案】
(1) 该住宅的总面积是$15xy\ \mathrm{m}^2$；(2) 铺地砖的总费用是3600元
【知识点】
长方形面积计算，整式加减，代数式求值
【点评】
本题是整式在实际生活中的基础应用题，将住宅面积拆分为多个规则长方形分别计算再求和，避免了直接求不规则大图形面积的麻烦，解题时只要准确识别各房间的长宽数值，细心进行整式运算和代入计算，就可以顺利得到结果，能帮助学生体会数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是利用长方形面积公式求解组合图形的总面积，再代入数值计算实际费用。解题时第一步，先把住宅拆分为客厅、厨房、卫生间、卧室四个独立的长方形区域，分别确定每个区域的长和宽，用长乘宽算出每个区域的面积，再将四个面积相加，合并同类项后就能得到总面积的代数式。第二步，把题目给出的x、y的数值代入已经得到的总面积代数式，先算出实际总面积，再用总面积乘每平方米地砖的费用，就能得到总铺砖费用，过程中注意不要搞错各个房间的边长，避免重复计算或者漏算面积。
【解析】
(1) 分别计算四个房间的面积：
客厅：长为4y，宽为2x，面积为$2x· 4y=8xy$
厨房：长为$4y-2y=2y$，宽为x，面积为$x· 2y=2xy$
卫生间：长为y，宽为$4x-2x-x=x$，面积为$x· y=xy$
卧室：长为2y，宽为$4x-2x=2x$，面积为$2x· 2y=4xy$
将四个区域面积相加，得到住宅总面积：
$S=8xy+2xy+xy+4xy=15xy\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 把$x=4$，$y=2$代入总面积代数式：
总面积$=15xy=15×4×2=120\ (\mathrm{m}^2)$
已知每平方米地砖费用为30元，总费用$=120×30=3600$元
【答案】
(1) 该住宅的总面积是$15xy\ \mathrm{m}^2$；(2) 铺地砖的总费用是3600元
【知识点】
长方形面积计算，整式加减，代数式求值
【点评】
本题是整式在实际生活中的基础应用题，将住宅面积拆分为多个规则长方形分别计算再求和，避免了直接求不规则大图形面积的麻烦，解题时只要准确识别各房间的长宽数值，细心进行整式运算和代入计算，就可以顺利得到结果，能帮助学生体会数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
