1. 如图,若$∠ AOM = α$, $∠ BOC = 4 ∠ BON$, $OM$平分$∠ CON$,则$∠ MON$的度数为________.(用含$α$的式子表示)

1. $\frac{540°-3α}{5}$
解析:设$∠ BON=x$,则$∠ BOC=4x$,所以$∠ CON=∠ COB-∠ BON=4x-x=3x$. 因为$OM$平分$∠ CON$,所以$∠ MON=\frac{1}{2}∠ CON=\frac{3}{2}x$. 因为$∠ AOM=α$,所以$∠ BOM=∠ MON+∠ BON=\frac{3}{2}x+x=180°-α$,所以$x=\frac{360°-2α}{5}$,所以$∠ MON=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×\frac{360°-2α}{5}=\frac{540°-3α}{5}$,即$∠ MON$的度数为$\frac{540°-3α}{5}$.

2. (2026·景德镇期末)某校七年级地理研学小组观测日影变化时,需要用时钟模拟太阳与地球的相对运动(时针代表地球自转方向,分针代表太阳视运动方向).已知时钟的分针转速为每分钟$6°$,时针转速为每分钟$0.5°$,在3:00到6:00的观测时段内,时针与分针重合的时间是.

2. 3时$\frac{180}{11}$分、4时$\frac{240}{11}$分和5时$\frac{300}{11}$分
解析:因为时钟的分针转速为每分钟$6°$,时针转速为每分钟$0.5°$,当$3:00$时,时针指向数3,分针指向数12,夹角为$90°$,设从$3:00$开始经过$t$分钟时针与分针重合,当第一次重合时,根据题意得$6t=90+0.5t$,解得$t=\frac{180}{11}$,此时时间为3时$\frac{180}{11}$分;因为分针比时针每转$360°$重合一次,所以当第二次重合时,$6t=90+0.5t+360$,解得$t=\frac{900}{11}=60+\frac{240}{11}$,所以此时时间为4时$\frac{240}{11}$分;所以当第三次重合时,$6t=90+0.5t+360×2$,解得$t=\frac{1620}{11}=120+\frac{300}{11}$,所以此时时间为5时$\frac{300}{11}$分.
综上所述,时针与分针重合的时间是3时$\frac{180}{11}$分、4时$\frac{240}{11}$分和5时$\frac{300}{11}$分.

3. 已知$∠ AOB = 150°$，$OC$是$∠ AOB$内的一条射线，射线$OD$平分$∠ AOC$，射线$OE$平分$∠ BOD$。
(1) 如图①，若$∠ AOD = ∠ EOC$，求$∠ AOD$的度数；
(2) 若 $∠ AOD = α$（$α ≠ 50°$），求$\frac{|∠ AOD - ∠ BOE|}{∠ COE}$的值。

备用图

3. (1)设$∠ AOD=α$. 因为$∠ AOD=∠ EOC$,所以$∠ EOC=α$. 因为$∠ AOB=150°$,所以$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=150°-α$. 因为射线$OD$平分$∠ AOC$,所以$∠ DOC=∠ AOD=α$,所以$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOD-∠ DOC-∠ EOC=150°-3α$. 因为射线$OE$平分$∠ BOD$,所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{150°-α}{2}$,所以$\frac{150°-α}{2}=150°-3α$,解得$α=30°$,即$∠ AOD=30°$.
(2) 当$α＜50°$时,如图①, 因为$∠ AOD=α$,$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{150°-α}{2}$, 所以$∠ COE=∠ BOC-∠ BOE=150°-2α-\frac{150°-α}{2}=\frac{150°-3α}{2}$, 所以$\frac{|∠ AOD-∠ BOE|}{∠ COE}=\frac{\left|α-\frac{150°-α}{2}\right|}{\frac{150°-3α}{2}}=\frac{|3α-150°|}{150°-3α}=\frac{150°-3α}{150°-3α}=1$.
当$α＞50°$时,如图②,因为$∠ AOD=α$,$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{150°-α}{2}$,所以$∠ COE=∠ BOE-∠ BOC=\frac{150°-α}{2}-(150°-2α)=\frac{3α-150°}{2}$,所以$\frac{|∠ AOD-∠ BOE|}{∠ COE}=\frac{\left|α-\frac{150°-α}{2}\right|}{\frac{3α-150°}{2}}=\frac{|3α-150°|}{3α-150°}=\frac{3α-150°}{3α-150°}=1$.综上,若$∠ AOD=α(α≠50°)$,则$\frac{|∠ AOD-∠ BOE|}{∠ COE}=1$.

4. (2026·盐城校级月考)如图所示,将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置,则α,β,γ三个角的数量关系为 ()

A.$α+β-γ=90°$
B.$α+β+γ=90°$
C.$α-β+γ=90°$
D.$α+2β-γ=90°$

4. C
解析:由题图可得$α+\gamma+(90°-β)=90°+90°$,则$α-β+\gamma=90°$.故选C.

5. 如图,在平面内,∠AOB=90°,OC在∠AOB的外部,∠COB是锐角,OP平分∠AOC,OQ平分∠COB,若∠COB的度数逐渐变大,则∠POQ的变化情况是 ()

A.变大
B.变小
C.保持不变
D.无法确定

5. C
解析:因为$OP$平分$∠ AOC$,$OQ$平分$∠ BOC$,所以$∠ COP=\frac{1}{2}∠ AOC$,$∠ COQ=\frac{1}{2}∠ BOC$,所以$∠ POQ=∠ COP-∠ COQ=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$,所以$∠ POQ$的度数不变.故选C.

6. 如图，AB//CD，EG平分∠DEF，FG平分∠BFE.
(1)试说明：∠EFG+∠GEF=90°；
(2)在(1)的条件下，过点G作GH⊥AB，垂足为H，∠FGH的平分线GI交AB于点I，∠EGH的平分线GJ交AB于点J，求∠IGJ的度数.

6. (1)因为$AB// CD$,所以$∠ DEF+∠ BFE=180°$. 因为$EG$平分$∠ DEF$,$FG$平分$∠ BFE$,所以$∠ DEF=2∠ GEF=2∠ DEG$,$∠ BFE=2∠ EFG=2∠ GFB$,所以$2∠ GEF+2∠ EFG=180°$,所以$∠ EFG+∠ GEF=90°$.
(2)如图,过点$G$作$GK// AB$. 因为$AB// CD$,所以$AB// GK// CD$,所以$∠ DEG=∠ EGK$,$∠ KGF=∠ GFB$. 由(1)得$∠ EFG+∠ GEF=90°$,所以$∠ EGK+∠ KGF=90°$. 因为$GH⊥ AB$,所以$GH⊥ KG$,即$∠ KGH=∠ KGF+∠ HGF=90°$,所以$∠ EGK=∠ HGF$. 因为$GJ$平分$∠ EGH$,所以$∠ EGJ=∠ HGJ$. 又$∠ KGJ=∠ EGJ-∠ EGK$,$∠ FGJ=∠ HGJ-∠ HGF$,所以$∠ KGJ=∠ FGJ$,所以$∠ KGF=2∠ FGJ$. 因为$GI$平分$∠ HGF$,所以$∠ HGF=2∠ FGI$,所以$2∠ FGJ+2∠ FGI=90°$,即$∠ FGJ+∠ FGI=45°$,所以$∠ IGJ=∠ FGJ+∠ FGI=45°$.