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9.如图,点E在正方形ABCD内,且∠AED=90°,AE=2,连接BE,则△ABE的面积为
2
.答案
9.2
三、解答题
10.发现:如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方,那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形.
验证:如$12+13=25=5^2$,请判断以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究:设两个连续的正整数$m$和$m+1$的和可以表示成正整数$n^2$,请论证“发现”中的结论正确；
应用:寻找一组含正整数9,且满足“发现”中的结论的数字.
10.发现:如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方,那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形.
验证:如$12+13=25=5^2$,请判断以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究:设两个连续的正整数$m$和$m+1$的和可以表示成正整数$n^2$,请论证“发现”中的结论正确；
应用:寻找一组含正整数9,且满足“发现”中的结论的数字.
答案
10.解:验证:$5^{2}+12^{2}=169,13^{2}=169,\therefore 5^{2}+12^{2}=13^{2},\therefore$以12、13和5为边长的三角形是直角三角形.
探究:由“发现”得:$m+m+1=n^{2},\therefore n^{2}=2m+1,\therefore n^{2}+m^{2}=m^{2}+2m+1=(m+1)^{2},\therefore$以$n$、$m$、$m+1$为边长的三角形是直角三角形.$\therefore$“发现”中的结论正确.
应用:$\because 40+41=9^{2},\therefore 9^{2}+40^{2}=1681,41^{2}=1681,\therefore 9^{2}+40^{2}=41^{2},\therefore$以9、40、41为边长的三角形是直角三角形.
探究:由“发现”得:$m+m+1=n^{2},\therefore n^{2}=2m+1,\therefore n^{2}+m^{2}=m^{2}+2m+1=(m+1)^{2},\therefore$以$n$、$m$、$m+1$为边长的三角形是直角三角形.$\therefore$“发现”中的结论正确.
应用:$\because 40+41=9^{2},\therefore 9^{2}+40^{2}=1681,41^{2}=1681,\therefore 9^{2}+40^{2}=41^{2},\therefore$以9、40、41为边长的三角形是直角三角形.
11.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
(1)求证：$△ ADE ≌ △ CBF$.
(2)若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长.
(1)求证：$△ ADE ≌ △ CBF$.
(2)若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长.
答案
11.(1)证明:$\because$四边形ABCD为正方形,$\therefore AD=BC,BC// AD$,$\therefore ∠ ADE = ∠ CBF$. 在$△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中,
$\begin{cases} AD=BC, \\ ∠ ADE=∠ CBF, \\ DE=BF, \end{cases}$$\therefore △ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS}).$
(2)解:连接AC交BD于点O,如图.
$\because$四边形ABCD为正方形,$BD=10$,$\therefore BD$垂直平分AC,$OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=5$,$\therefore AF=CF$,$AE=CE$.由(1)可知:$△ ADE≌△ CBF$,$\therefore AE=CF$,$\therefore AF=CF=AE=CE$,$\therefore$四边形AECF是菱形,$\therefore OF=OE$,$\therefore EF=2OF$.$\because$四边形AECF的周长为:$4AF=4\sqrt{34}$,$\therefore AF=\sqrt{34}$.在$\mathrm{Rt}△ AOF$中,由勾股定理,得$OF=\sqrt{AF^{2}-OA^{2}}=\sqrt{(\sqrt{34})^{2}-5^{2}}=3$,$\therefore EF=2OF=6$.
