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3.如右图，一次函数$y = -\dfrac{4}{3}x + 8$的图象与x轴y轴分别交于点A、B，点B关于x轴的对称点为C，动点P、Q分别在线段BC、AB上（P不与B，C重合），且$∠ APQ = ∠ ABO$，当$△ APQ$是以AQ为底边的等腰三角形时，点P的坐标是
$(0, -2)$
。答案
3.$(0, -2)$
解析
【分析】
解题时首先求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标，再结合对称性质得到点C的位置；根据△APQ是以AQ为底边的等腰三角形，可推出AP=PQ，得到对应底角相等；结合已知∠APQ=∠ABO，利用三角形内角和推导角的等量关系，得到∠PAB=∠APB，进而推出AB=BP；最后用勾股定理计算AB的长度，结合点B的坐标即可求出点P的坐标。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
对于一次函数$y = -\dfrac{4}{3}x + 8$，
令$y=0$，则$-\dfrac{4}{3}x +8=0$，解得$x=6$，即$A(6,0)$；
令$x=0$，则$y=8$，即$B(0,8)$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，$OA=6$，$OB=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
3. 推导边的等量关系：
∵$△ APQ$是以AQ为底边的等腰三角形，
∴$AP=PQ$，$∠ PAQ=∠ PQA$。
在$△ APQ$中，$∠ PAQ+∠ PQA+∠ APQ=180°$，即$2∠ PAQ+∠ APQ=180°$；
在$△ ABP$中，$∠ PAB+∠ ABP+∠ APB=180°$。
∵Q在线段AB上，
∴$∠ PAQ=∠ PAB$，结合已知$∠ APQ=∠ ABO=∠ ABP$，可得：
$∠ PQA=180°-∠ APQ-∠ PAB=180°-∠ ABP-∠ PAB=∠ APB$，
结合$∠ PAQ=∠ PQA$，得$∠ PAB=∠ APB$，由等角对等边得$AB=BP=10$。
4. 求点P的坐标：
点B关于x轴的对称点为C，故$C(0,-8)$，点P在线段BC上，即P在y轴上，设$P(0,m)$，
则$BP=|8-m|=10$，结合P不与B、C重合，得$8-m=10$，解得$m=-2$，即$P(0,-2)$。
【答案】
$(0,-2)$
【知识点】
一次函数的图象性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是通过角度的等量推导得到$AB=BP$的关系，将坐标问题转化为线段长度计算，难度适中，能有效考察几何推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标，再结合对称性质得到点C的位置；根据△APQ是以AQ为底边的等腰三角形，可推出AP=PQ，得到对应底角相等；结合已知∠APQ=∠ABO，利用三角形内角和推导角的等量关系，得到∠PAB=∠APB，进而推出AB=BP；最后用勾股定理计算AB的长度，结合点B的坐标即可求出点P的坐标。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
对于一次函数$y = -\dfrac{4}{3}x + 8$，
令$y=0$，则$-\dfrac{4}{3}x +8=0$，解得$x=6$，即$A(6,0)$；
令$x=0$，则$y=8$，即$B(0,8)$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，$OA=6$，$OB=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
3. 推导边的等量关系：
∵$△ APQ$是以AQ为底边的等腰三角形，
∴$AP=PQ$，$∠ PAQ=∠ PQA$。
在$△ APQ$中，$∠ PAQ+∠ PQA+∠ APQ=180°$，即$2∠ PAQ+∠ APQ=180°$；
在$△ ABP$中，$∠ PAB+∠ ABP+∠ APB=180°$。
∵Q在线段AB上，
∴$∠ PAQ=∠ PAB$，结合已知$∠ APQ=∠ ABO=∠ ABP$，可得：
$∠ PQA=180°-∠ APQ-∠ PAB=180°-∠ ABP-∠ PAB=∠ APB$，
结合$∠ PAQ=∠ PQA$，得$∠ PAB=∠ APB$，由等角对等边得$AB=BP=10$。
4. 求点P的坐标：
点B关于x轴的对称点为C，故$C(0,-8)$，点P在线段BC上，即P在y轴上，设$P(0,m)$，
则$BP=|8-m|=10$，结合P不与B、C重合，得$8-m=10$，解得$m=-2$，即$P(0,-2)$。
【答案】
$(0,-2)$
【知识点】
一次函数的图象性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是通过角度的等量推导得到$AB=BP$的关系，将坐标问题转化为线段长度计算，难度适中，能有效考察几何推导能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
先观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 -1}=\sqrt{2}-1$。
例2：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，$···$。
(1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=$
(2) 请你用含$n$（$n$为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
(3) 利用上面的规律，求下面式子的值：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$。
先观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 -1}=\sqrt{2}-1$。
例2：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，$···$。
(1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=$
$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
；(2) 请你用含$n$（$n$为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
(3) 利用上面的规律，求下面式子的值：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$。
答案
(1)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(2)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(3)$\sqrt{2017}-1$
(2)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(3)$\sqrt{2017}-1$
解析
【分析】
本题核心是利用平方差公式进行分母有理化求解，解题思路如下：1. 第一问直接参照给出的例题方法，给分子分母同乘分母的共轭二次根式，去掉分母的根号即可得结果；2. 第二问把具体数字替换为含正整数n的式子，仿照分母有理化的步骤推导通用变形规律；3. 第三问先利用第二问得到的规律将每一项拆分为两个二次根式的差，再通过抵消中间的同类项简化计算，最终得到求和结果。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$做分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}-\sqrt{5}$：
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(2) 设n为正整数，对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$做分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
即变形规律为$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n为正整数）
(3) 根据上述规律拆分原式的每一项：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$
$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+···+(\sqrt{2017}-\sqrt{2016})$
相邻两项的同类二次根式相互抵消后，剩余：
$=\sqrt{2017}-1$
【答案】
(1)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(2)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n为正整数）
(3)$\sqrt{2017}-1$
【知识点】
分母有理化，二次根式化简，裂项相消求和
【点评】
本题属于二次根式的常规应用题型，解题关键是掌握平方差公式在分母有理化中的用法，求和时通过裂项抵消可以大幅简化计算，避免逐一运算的繁琐。
【难度系数】
0.7
本题核心是利用平方差公式进行分母有理化求解，解题思路如下：1. 第一问直接参照给出的例题方法，给分子分母同乘分母的共轭二次根式，去掉分母的根号即可得结果；2. 第二问把具体数字替换为含正整数n的式子，仿照分母有理化的步骤推导通用变形规律；3. 第三问先利用第二问得到的规律将每一项拆分为两个二次根式的差，再通过抵消中间的同类项简化计算，最终得到求和结果。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$做分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}-\sqrt{5}$：
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(2) 设n为正整数，对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$做分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
即变形规律为$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n为正整数）
(3) 根据上述规律拆分原式的每一项：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$
$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+···+(\sqrt{2017}-\sqrt{2016})$
相邻两项的同类二次根式相互抵消后，剩余：
$=\sqrt{2017}-1$
【答案】
(1)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(2)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n为正整数）
(3)$\sqrt{2017}-1$
【知识点】
分母有理化，二次根式化简，裂项相消求和
【点评】
本题属于二次根式的常规应用题型，解题关键是掌握平方差公式在分母有理化中的用法，求和时通过裂项抵消可以大幅简化计算，避免逐一运算的繁琐。
【难度系数】
0.7
四、综合实践活动
为了提高同学们学习数学的兴趣,某中学开展主题为“感受数学魅力,享受数学乐趣”的数学活动,并计划购买A,B两种奖品,奖励在数学活动中表现突出的学生。已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需64元,购买2件A种奖品和1件B种奖品共需56元。
(1)每件A,B奖品的价格各是多少元?
(2)根据需要,该学校准备购买A,B两种奖品共80件,设购买a件A种奖品,所需总费用为w元,求w与a之间的函数关系式,并直接写出a的取值范围。
(3)在(2)的条件下,若要求购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍,求所需总费用的最小值。
为了提高同学们学习数学的兴趣,某中学开展主题为“感受数学魅力,享受数学乐趣”的数学活动,并计划购买A,B两种奖品,奖励在数学活动中表现突出的学生。已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需64元,购买2件A种奖品和1件B种奖品共需56元。
(1)每件A,B奖品的价格各是多少元?
(2)根据需要,该学校准备购买A,B两种奖品共80件,设购买a件A种奖品,所需总费用为w元,求w与a之间的函数关系式,并直接写出a的取值范围。
(3)在(2)的条件下,若要求购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍,求所需总费用的最小值。
答案
(1)每件A种奖品的价格为16元,每件B种奖品的价格为24元。
(2)$w = -8a + 1920$（$0 ≤ a ≤ 80$,且是整数）。
(3)1 440元。
(2)$w = -8a + 1920$（$0 ≤ a ≤ 80$,且是整数）。
(3)1 440元。
解析
【分析】
(1) 本题可通过设未知数，根据题干给出的两个购买费用的等量关系列二元一次方程组求解A、B两种奖品的单价。
(2) 总费用等于A奖品总费用加B奖品总费用，已知A奖品购买a件，可得B奖品购买(80-a)件，结合两种奖品的单价代入即可得到w与a的函数关系式；a代表奖品数量，不能为负且不能超过总购买数量80，即可得到a的取值范围。
(3) 先根据“A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值上限，再结合一次函数的增减性，找到w取最小值时对应的a值，代入函数式即可求出最小总费用。
【解析】
(1) 设每件A种奖品的价格为x元，每件B种奖品的价格为y元，根据题意得：
$\begin{cases} x + 2y = 64 \\ 2x + y = 56 \end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$2x + 4y = 128$，用该式减去第二个方程，得$3y = 72$，解得$y=24$。
把$y=24$代入$2x + y = 56$，得$2x + 24 = 56$，解得$x=16$。
(2) 已知购买a件A种奖品，则购买B种奖品的数量为$(80 - a)$件，总费用$w = 16a + 24(80 - a)$，化简得：
$w = 16a + 1920 - 24a = -8a + 1920$
因为奖品数量为非负整数，且总购买量为80件，所以a的取值范围是$0 ≤ a ≤ 80$，且a为整数。
(3) 根据题意，A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，可得不等式：
$a ≤ 3(80 - a)$
解不等式：$a ≤ 240 - 3a$，移项得$4a ≤ 240$，解得$a ≤ 60$。
在一次函数$w = -8a + 1920$中，$k = -8 ＜ 0$，所以w随a的增大而减小，因此当a取最大值60时，w取得最小值。
将$a=60$代入函数式，得$w = -8×60 + 1920 = 1440$。
【答案】
(1)每件A种奖品的价格为16元，每件B种奖品的价格为24元。
(2)$w = -8a + 1920$（$0 ≤ a ≤ 80$，且是整数）。
(3)1440元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是实际应用类综合题，考查了方程、函数、不等式的结合运用，解题核心是准确提炼题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，属于常考的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可通过设未知数，根据题干给出的两个购买费用的等量关系列二元一次方程组求解A、B两种奖品的单价。
(2) 总费用等于A奖品总费用加B奖品总费用，已知A奖品购买a件，可得B奖品购买(80-a)件，结合两种奖品的单价代入即可得到w与a的函数关系式；a代表奖品数量，不能为负且不能超过总购买数量80，即可得到a的取值范围。
(3) 先根据“A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值上限，再结合一次函数的增减性，找到w取最小值时对应的a值，代入函数式即可求出最小总费用。
【解析】
(1) 设每件A种奖品的价格为x元，每件B种奖品的价格为y元，根据题意得：
$\begin{cases} x + 2y = 64 \\ 2x + y = 56 \end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$2x + 4y = 128$，用该式减去第二个方程，得$3y = 72$，解得$y=24$。
把$y=24$代入$2x + y = 56$，得$2x + 24 = 56$，解得$x=16$。
(2) 已知购买a件A种奖品，则购买B种奖品的数量为$(80 - a)$件，总费用$w = 16a + 24(80 - a)$，化简得：
$w = 16a + 1920 - 24a = -8a + 1920$
因为奖品数量为非负整数，且总购买量为80件，所以a的取值范围是$0 ≤ a ≤ 80$，且a为整数。
(3) 根据题意，A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，可得不等式：
$a ≤ 3(80 - a)$
解不等式：$a ≤ 240 - 3a$，移项得$4a ≤ 240$，解得$a ≤ 60$。
在一次函数$w = -8a + 1920$中，$k = -8 ＜ 0$，所以w随a的增大而减小，因此当a取最大值60时，w取得最小值。
将$a=60$代入函数式，得$w = -8×60 + 1920 = 1440$。
【答案】
(1)每件A种奖品的价格为16元，每件B种奖品的价格为24元。
(2)$w = -8a + 1920$（$0 ≤ a ≤ 80$，且是整数）。
(3)1440元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是实际应用类综合题，考查了方程、函数、不等式的结合运用，解题核心是准确提炼题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，属于常考的常规题型。
【难度系数】
0.7
