1. 根据以下素材，探索完成任务.
探究平行线在一副三角尺中的运用
素材背景：亲爱的同学们，新课标要求我们通过数学学习，逐步会用数学的眼光观察现实世界. 一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的窗口，学完平行线的性质，可探究三角尺摆放位置不同所涉及的数学问题.
素材：如图1是一副三角尺，$∠ C=∠ F=90°$，$∠ A=∠ B=45°$，$∠ D=30°$，$∠ E=60°$.
问题解决
任务1：将两个三角尺如图2摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，则$∠ BGD=$.（提示：过点G作$GH// DF$）
任务2：如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使$AB// MN$，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则$∠ DEM$与$∠ DPB$有怎样的数量关系？请说明理由.
任务3：将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，请直接写出这两个三角尺一组边互相平行时，$∠ ACE$角度所有可能的值.（如图4提供了其中一种情况）
任务图：

任务1：$75°$
任务2：$∠ DEM - ∠ DPB = 30°$. 理由：过点 D 作 $DH // MN$，如答图7，$\therefore ∠ HDE = ∠ DEM$. $\because AB // MN$，$\therefore AB // DH$，$\therefore ∠ HDP = ∠ DPB$. 又 $\because ∠ HDE - ∠ HDP = 30°$，$\therefore ∠ DEM - ∠ DPB = 30°$
任务3：$∠ ACE$ 角度所有可能的值是 $135°$或 $150°$或 $60°$或 $45°$或 $15°$. 理由如下：①当 $AB// EC$ 时，如答图8所示，则$∠ ECB = ∠ B = 45°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB + ∠ ECB = 135°$. ②当 $BC// DE$ 时，如答图9所示，则$∠ ECB = ∠ E = 60°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB + ∠ ECB = 150°$. ③当 $AC// DE$ 时，如答图10所示，则$∠ ACE = ∠ E = 60°$. ④当 $AB// CD$ 时，如答图11所示，则$∠ BCD = ∠ B = 45°$，$∠ ECB = 90° - ∠ BCD = 45°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB - ∠ ECB = 90° - 45° = 45°$. ⑤当 $AB// DE$ 时，设 $BC$ 与 $DE$ 交于点 $T$，如答图12所示，则$∠ ETC = ∠ B = 45°$，$\therefore ∠ ECT = 180° - (∠ ETC + ∠ E) = 75°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB - ∠ ECT = 15°$

【分析】
任务1：要求∠BGD的度数，根据提示过点G作$GH// DF$，结合三角尺特征可知$DF⊥ AC$，因此$GH$同时平行于$DF$和$AC$，利用平行线内错角相等的性质，可将∠BGD拆分为两个已知角度的和，计算即可得结果。
任务2：要探究∠DEM和∠DPB的数量关系，通过作辅助线$DH// MN$，结合$AB// MN$可得$DH// AB$，利用平行线内错角相等的性质，将两个角分别转化为$∠HDE$和$∠HDP$，结合$∠EDF=30°$即可推出两角的数量关系。
任务3：需分类讨论两个三角尺边平行的所有符合条件的情况，共5种：$AB// EC$、$BC// DE$、$AC// DE$、$AB// CD$、$AB// DE$，针对每种情况结合平行线性质和三角尺固定角度，通过角度和差计算即可求出对应$∠ACE$的度数。
【解析】
任务1
过点G作$GH// DF$，
$\because ∠DFE=∠ACB=90°$，点E在AC上，$\therefore DF⊥ AC$，可得$GH// AC$，
$\therefore ∠DGH=∠D=30°$，$∠BGH=∠BAC=45°$，
$\therefore ∠BGD=30°+45°=75°$。
任务2
$∠ DEM - ∠ DPB = 30°$，理由如下：
过点 D 作 $DH // MN$，如答图7，
$\therefore ∠ HDE = ∠ DEM$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB // MN$，$\therefore AB // DH$（平行于同一直线的两直线互相平行），
$\therefore ∠ HDP = ∠ DPB$（两直线平行，内错角相等）。
又 $\because ∠ HDE - ∠ HDP = ∠EDF=30°$，
$\therefore ∠ DEM - ∠ DPB = 30°$。
任务3
分5种情况讨论：
①当 $AB// EC$ 时，如答图8所示，$∠ ECB = ∠ B = 45°$，$\therefore ∠ ACE = 90°+45°=135°$。
②当 $BC// DE$ 时，如答图9所示，$∠ ECB = ∠ E = 60°$，$\therefore ∠ ACE = 90°+60°=150°$。
③当 $AC// DE$ 时，如答图10所示，$∠ ACE = ∠ E = 60°$。
④当 $AB// CD$ 时，如答图11所示，$∠ BCD = ∠ B = 45°$，$∠ ECB = 90° - 45°=45°$，$\therefore ∠ ACE = 90° - 45° = 45°$。
⑤当 $AB// DE$ 时，设 $BC$ 与 $DE$ 交于点 $T$，如答图12所示，$∠ ETC = ∠ B = 45°$，$△ ECT$中$∠ ECT = 180° - (45° + 60°) = 75°$，$\therefore ∠ ACE = 90° -75°=15°$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{75°}$
任务2：$\boldsymbol{∠ DEM - ∠ DPB = 30°}$，理由：过点 D 作 $DH // MN$，如答图7，$\therefore ∠ HDE = ∠ DEM$. $\because AB // MN$，$\therefore AB // DH$，$\therefore ∠ HDP = ∠ DPB$. 又 $\because ∠ HDE - ∠ HDP = 30°$，$\therefore ∠ DEM - ∠ DPB = 30°$
任务3：$\boldsymbol{15°、45°、60°、135°、150°}$，理由如下：①当 $AB// EC$ 时，如答图8所示，则$∠ ECB = ∠ B = 45°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB + ∠ ECB = 135°$. ②当 $BC// DE$ 时，如答图9所示，则$∠ ECB = ∠ E = 60°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB + ∠ ECB = 150°$. ③当 $AC// DE$ 时，如答图10所示，则$∠ ACE = ∠ E = 60°$. ④当 $AB// CD$ 时，如答图11所示，则$∠ BCD = ∠ B = 45°$，$∠ ECB = 90° - ∠ BCD = 45°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB - ∠ ECB = 90° - 45° = 45°$. ⑤当 $AB// DE$ 时，设 $BC$ 与 $DE$ 交于点 $T$，如答图12所示，则$∠ ETC = ∠ B = 45°$，$\therefore ∠ ECT = 180° - (∠ ETC + ∠ E) = 75°$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ACB - ∠ ECT = 15°$
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题以三角尺摆放为载体考查平行线性质的应用，需要通过作辅助线转化角度，同时要全面枚举平行的可能情况避免漏解，能够锻炼几何逻辑推理能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.5