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1. 若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是 （
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，题目给出三个内角度数比，我们可以采用按比例分配的思路求解各角的度数：第一步先计算三个角的总份数，第二步结合内角和算出1份对应的度数，第三步求出三个内角的具体数值，最后根据最大角的类型判断三角形属于哪一类，同时可根据三个角度数比均不相等，直接排除等腰三角形的可能。
【解析】
已知三角形三个内角度数比为2:3:4，设三个内角的度数分别为2x、3x、4x。
根据三角形内角和定理，三个内角和为180°，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
因此三个内角的度数分别为：
$2x = 2×20° = 40°$
$3x = 3×20° = 60°$
$4x = 4×20° = 80°$
该三角形最大内角为80°，是锐角，因此这个三角形是锐角三角形；且三个角度数均不相等，不是等腰三角形。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配计算；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和的应用，解题的关键是通过比例关系求出各个内角的度数，再结合最大角的类型判断三角形的类别，掌握基础知识点后即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，题目给出三个内角度数比，我们可以采用按比例分配的思路求解各角的度数：第一步先计算三个角的总份数，第二步结合内角和算出1份对应的度数，第三步求出三个内角的具体数值，最后根据最大角的类型判断三角形属于哪一类，同时可根据三个角度数比均不相等，直接排除等腰三角形的可能。
【解析】
已知三角形三个内角度数比为2:3:4，设三个内角的度数分别为2x、3x、4x。
根据三角形内角和定理，三个内角和为180°，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
因此三个内角的度数分别为：
$2x = 2×20° = 40°$
$3x = 3×20° = 60°$
$4x = 4×20° = 80°$
该三角形最大内角为80°，是锐角，因此这个三角形是锐角三角形；且三个角度数均不相等，不是等腰三角形。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配计算；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和的应用，解题的关键是通过比例关系求出各个内角的度数，再结合最大角的类型判断三角形的类别，掌握基础知识点后即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.（跨学科·化学）石墨烯在材料学、能源、生物医学等方面具有重要的应用前景. 它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形. 一个正六边形的内角和为（
A.$360°$
B.$540°$
C.$720°$
D.$900°$
（第2题）
C
）A.$360°$
B.$540°$
C.$720°$
D.$900°$
（第2题）答案
C
解析
【分析】
本题要求正六边形的内角和，解题思路很清晰：首先回忆多边形内角和的计算公式，明确公式里n代表多边形的边数，然后确定正六边形的边数n=6，最后代入公式计算就能得到结果。
【解析】
多边形内角和计算公式为$(n-2)×180°$（其中$n$为多边形的边数，$n≥3$且为整数）。
正六边形的边数$n=6$，将$n=6$代入公式可得：
$(6-2)×180°=4×180°=720°$
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和计算
【点评】
本题结合石墨烯的分子结构出题，融合了化学场景和数学知识，考查的是基础的公式应用，只要记住多边形内角和公式就能快速解题。
【难度系数】
0.9
本题要求正六边形的内角和，解题思路很清晰：首先回忆多边形内角和的计算公式，明确公式里n代表多边形的边数，然后确定正六边形的边数n=6，最后代入公式计算就能得到结果。
【解析】
多边形内角和计算公式为$(n-2)×180°$（其中$n$为多边形的边数，$n≥3$且为整数）。
正六边形的边数$n=6$，将$n=6$代入公式可得：
$(6-2)×180°=4×180°=720°$
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和计算
【点评】
本题结合石墨烯的分子结构出题，融合了化学场景和数学知识，考查的是基础的公式应用，只要记住多边形内角和公式就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 给出下列边长相同的正多边形，不能够铺满地面的是 (
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
C
)A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
答案
C
解析
【分析】
要判断正多边形能不能铺满地面，核心是看拼接点处几个正多边形的内角加起来能否恰好等于360°（周角），即正多边形的单个内角度数要能整除360°。解题步骤是：先根据正多边形内角公式算出每个选项的单个内角度数，再验证其能否整除360°，不能整除的就无法铺满地面。
【解析】
平面铺满地面（密铺）的条件是：围绕一点拼接的几个正多边形的内角和恰好为360°。
正n边形单个内角的度数公式为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$
选项A：正三角形，n=3，单个内角为$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，$360°÷60°=6$，是整数，6个正三角形可在拼接点凑出360°，能铺满地面。
选项B：正方形，n=4，单个内角为$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，$360°÷90°=4$，是整数，4个正方形可在拼接点凑出360°，能铺满地面。
选项C：正五边形，n=5，单个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°=\frac{10}{3}$，不是整数，无法凑出360°，不能铺满地面。
选项D：正六边形，n=6，单个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$360°÷120°=3$，是整数，3个正六边形可在拼接点凑出360°，能铺满地面。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算；平面密铺条件
【点评】
本题考查平面密铺的实际应用，解题的核心是牢记拼接点处各内角和为360°，掌握正多边形内角度数的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断正多边形能不能铺满地面，核心是看拼接点处几个正多边形的内角加起来能否恰好等于360°（周角），即正多边形的单个内角度数要能整除360°。解题步骤是：先根据正多边形内角公式算出每个选项的单个内角度数，再验证其能否整除360°，不能整除的就无法铺满地面。
【解析】
平面铺满地面（密铺）的条件是：围绕一点拼接的几个正多边形的内角和恰好为360°。
正n边形单个内角的度数公式为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$
选项A：正三角形，n=3，单个内角为$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，$360°÷60°=6$，是整数，6个正三角形可在拼接点凑出360°，能铺满地面。
选项B：正方形，n=4，单个内角为$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，$360°÷90°=4$，是整数，4个正方形可在拼接点凑出360°，能铺满地面。
选项C：正五边形，n=5，单个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°=\frac{10}{3}$，不是整数，无法凑出360°，不能铺满地面。
选项D：正六边形，n=6，单个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$360°÷120°=3$，是整数，3个正六边形可在拼接点凑出360°，能铺满地面。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算；平面密铺条件
【点评】
本题考查平面密铺的实际应用，解题的核心是牢记拼接点处各内角和为360°，掌握正多边形内角度数的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（
A.正三角形和正六边形
B.正方形和正六边形
C.正三角形和正十二边形
D.正三角形、正方形和正六边形
B
）A.正三角形和正六边形
B.正方形和正六边形
C.正三角形和正十二边形
D.正三角形、正方形和正六边形
答案
B
解析
【分析】
要判断正多边形组合能不能铺满地面，核心依据是平面密铺的条件：拼接在同一个顶点处的几个正多边形的内角之和恰好等于360°。解题步骤为：①先计算每个正多边形的内角度数（正n边形内角=(n-2)×180°÷n）；②对每个选项，设对应正多边形的个数为正整数，列方程验证是否存在正整数解，有解则能铺满，无解则不能铺满。
【解析】
首先计算各正多边形的内角度数：
正三角形内角：$(3-2)× 180° ÷ 3=60°$
正方形内角：$(4-2)× 180° ÷ 4=90°$
正六边形内角：$(6-2)× 180° ÷ 6=120°$
正十二边形内角：$(12-2)× 180° ÷ 12=150°$
逐一验证选项：
A. 设$x$个正三角形、$y$个正六边形，列方程：$60x+120y=360$，化简得$x+2y=6$，存在正整数解（如$x=2,y=2$），因此能铺满地面。
B. 设$x$个正方形、$y$个正六边形，列方程：$90x+120y=360$，化简得$3x+4y=12$，尝试正整数取值：$y=1$时$3x=8$，$x$不是整数；$y=2$时$3x=4$，$x$不是整数；$y≥ 3$时内角和超过360°，无正整数解，因此不能铺满地面。
C. 设$x$个正三角形、$y$个正十二边形，列方程：$60x+150y=360$，化简得$2x+5y=12$，存在正整数解（$x=1,y=2$），因此能铺满地面。
D. 设$x$个正三角形、$y$个正方形、$z$个正六边形，列方程：$60x+90y+120z=360$，化简得$2x+3y+4z=12$，存在正整数解（如$x=1,y=2,z=1$），因此能铺满地面。
【答案】
B
【知识点】
平面密铺的条件；正多边形内角计算
【点评】
本题是平面密铺的常见题型，解题关键是牢牢抓住“同一顶点处各内角和为360°”这个核心判定依据，通过计算验证即可得出结论，需要注意正多边形的个数必须是正整数。
【难度系数】
0.7
要判断正多边形组合能不能铺满地面，核心依据是平面密铺的条件：拼接在同一个顶点处的几个正多边形的内角之和恰好等于360°。解题步骤为：①先计算每个正多边形的内角度数（正n边形内角=(n-2)×180°÷n）；②对每个选项，设对应正多边形的个数为正整数，列方程验证是否存在正整数解，有解则能铺满，无解则不能铺满。
【解析】
首先计算各正多边形的内角度数：
正三角形内角：$(3-2)× 180° ÷ 3=60°$
正方形内角：$(4-2)× 180° ÷ 4=90°$
正六边形内角：$(6-2)× 180° ÷ 6=120°$
正十二边形内角：$(12-2)× 180° ÷ 12=150°$
逐一验证选项：
A. 设$x$个正三角形、$y$个正六边形，列方程：$60x+120y=360$，化简得$x+2y=6$，存在正整数解（如$x=2,y=2$），因此能铺满地面。
B. 设$x$个正方形、$y$个正六边形，列方程：$90x+120y=360$，化简得$3x+4y=12$，尝试正整数取值：$y=1$时$3x=8$，$x$不是整数；$y=2$时$3x=4$，$x$不是整数；$y≥ 3$时内角和超过360°，无正整数解，因此不能铺满地面。
C. 设$x$个正三角形、$y$个正十二边形，列方程：$60x+150y=360$，化简得$2x+5y=12$，存在正整数解（$x=1,y=2$），因此能铺满地面。
D. 设$x$个正三角形、$y$个正方形、$z$个正六边形，列方程：$60x+90y+120z=360$，化简得$2x+3y+4z=12$，存在正整数解（如$x=1,y=2,z=1$），因此能铺满地面。
【答案】
B
【知识点】
平面密铺的条件；正多边形内角计算
【点评】
本题是平面密铺的常见题型，解题关键是牢牢抓住“同一顶点处各内角和为360°”这个核心判定依据，通过计算验证即可得出结论，需要注意正多边形的个数必须是正整数。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在△ABC中，点D在BC上. 根据图中标示的度数，则p+q+r之值为（
A.140
B.150
C.160
D.180
C
）A.140
B.150
C.160
D.180
答案
C
解析
【分析】
要计算p+q+r的和，我们可以利用三角形内角和为180°的性质分步计算：首先观察△ADC，已知两个内角的度数，可直接求出r的值；再观察大三角形△ABC，利用内角和定理求出p与q的和，最后将两部分结果相加即可得到最终答案。
【解析】
1. 在△ADC中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$30° + 70° + r° = 180°$
解得：$r = 180 - 30 -70 = 80$
2. 在△ABC中，$∠ BAC = p° + 30°$，$∠ B = q°$，$∠ C = 70°$，根据三角形内角和等于180°，可得：
$(p° + 30°) + q° + 70° = 180°$
整理得：$p + q = 180 - 30 -70 = 80$
3. 因此$p + q + r = 80 + 80 = 160$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用，解题时只要准确找到对应三角形的内角，结合公式计算即可，注意不要混淆角的所属三角形。
【难度系数】
0.7
要计算p+q+r的和，我们可以利用三角形内角和为180°的性质分步计算：首先观察△ADC，已知两个内角的度数，可直接求出r的值；再观察大三角形△ABC，利用内角和定理求出p与q的和，最后将两部分结果相加即可得到最终答案。
【解析】
1. 在△ADC中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$30° + 70° + r° = 180°$
解得：$r = 180 - 30 -70 = 80$
2. 在△ABC中，$∠ BAC = p° + 30°$，$∠ B = q°$，$∠ C = 70°$，根据三角形内角和等于180°，可得：
$(p° + 30°) + q° + 70° = 180°$
整理得：$p + q = 180 - 30 -70 = 80$
3. 因此$p + q + r = 80 + 80 = 160$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用，解题时只要准确找到对应三角形的内角，结合公式计算即可，注意不要混淆角的所属三角形。
【难度系数】
0.7
