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5. 将一根长 $5\,\mathrm{dm}$ 的圆柱形木料，沿着直径锯成相等的两半，表面积增加了 $20\,\mathrm{dm}^2$。这根木料的直径是()。
A.$8\,\mathrm{dm}$
B.$4\,\mathrm{dm}$
C.$2\,\mathrm{dm}$
D.$2\,\mathrm{dm}^2$
A.$8\,\mathrm{dm}$
B.$4\,\mathrm{dm}$
C.$2\,\mathrm{dm}$
D.$2\,\mathrm{dm}^2$
答案
C
解析
将圆柱体沿直径锯成两半后，表面积增加的部分为两个长方形的面积，每个长方形长为圆柱的高（$5\,\mathrm{dm}$），宽为圆柱的直径$d$。
表面积增加总量为$20\,\mathrm{dm}^2$，故单个长方形面积为$20 ÷ 2 = 10\,\mathrm{dm}^2$。
根据长方形面积公式：
$5 × d = 10$，解得$d = 2\,\mathrm{dm}$。
表面积增加总量为$20\,\mathrm{dm}^2$，故单个长方形面积为$20 ÷ 2 = 10\,\mathrm{dm}^2$。
根据长方形面积公式：
$5 × d = 10$，解得$d = 2\,\mathrm{dm}$。
三、走进生活，解决问题。
1. 右图是一个圆柱的侧面及上、下底面展开图。（单位：$\mathrm{cm}$）
(1) 这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
(2) 这个圆柱的体积有多大？
1. 右图是一个圆柱的侧面及上、下底面展开图。（单位：$\mathrm{cm}$）
(1) 这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
(2) 这个圆柱的体积有多大？
答案
(1) 图中圆形表示圆柱的上下底面，圆半径$r=1\mathrm{cm}$，圆柱高$h=2\mathrm{cm}$，
根据圆柱表面积公式：
$S=2π r^{2} +2π r h$
$=2× 3.14× 1^{2}+2× 3.14× 1× 2$
$=6.28 + 12.56$
$=18.84(\mathrm{cm}^{2})$
(2) 根据圆柱体积公式：
$V =π r^{2}h$
$=3.14× 1^{2}× 2$
$=6.28(\mathrm{cm}^{3})$
根据圆柱表面积公式：
$S=2π r^{2} +2π r h$
$=2× 3.14× 1^{2}+2× 3.14× 1× 2$
$=6.28 + 12.56$
$=18.84(\mathrm{cm}^{2})$
(2) 根据圆柱体积公式：
$V =π r^{2}h$
$=3.14× 1^{2}× 2$
$=6.28(\mathrm{cm}^{3})$
解析
(1) 图中圆形表示圆柱的上下底面，圆半径$r=1\mathrm{cm}$，圆柱高$h=2\mathrm{cm}$，
根据圆柱表面积公式：
$S=2π r^{2} +2π r h$
$=2× 3.14× 1^{2}+2× 3.14× 1× 2$
$=6.28 + 12.56$
$=18.84(\mathrm{cm}^{2})$
(2) 根据圆柱体积公式：
$V =π r^{2}h$
$=3.14× 1^{2}× 2$
$=6.28(\mathrm{cm}^{3})$
根据圆柱表面积公式：
$S=2π r^{2} +2π r h$
$=2× 3.14× 1^{2}+2× 3.14× 1× 2$
$=6.28 + 12.56$
$=18.84(\mathrm{cm}^{2})$
(2) 根据圆柱体积公式：
$V =π r^{2}h$
$=3.14× 1^{2}× 2$
$=6.28(\mathrm{cm}^{3})$
2. 从长方体木料中挖去一个圆柱（如右图），求挖去圆柱后这块木料的体积。（单位：$\mathrm{cm}$）
答案
根据题意和图示，首先需要计算长方体的体积，然后减去圆柱体的体积。
1.计算长方体的体积：
长方体的长、宽、高分别为15厘米、12厘米、10厘米。
体积公式为：V = 长 × 宽 × 高。
所以，长方体的体积为：
$V_{\mathrm{长方体}} = 15 × 12 × 10 = 1800 \mathrm{cm}^3$。
2.计算圆柱体的体积：
圆柱的直径为5厘米，半径为2.5厘米，高为12厘米。
圆柱体积公式为：$V = π r^2 h$。
所以，圆柱的体积为：
$V_{\mathrm{圆柱}} = π × (2.5)^2 × 12 = 235.5 \mathrm{cm}^3 （$取$π \approx 3.14）$。
3.计算剩余木料的体积：
剩余体积为长方体体积减去圆柱体积：
$V_{\mathrm{剩余}} = 1800 - 235.5 = 1564.5 \mathrm{cm}^3$。
1.计算长方体的体积：
长方体的长、宽、高分别为15厘米、12厘米、10厘米。
体积公式为：V = 长 × 宽 × 高。
所以，长方体的体积为：
$V_{\mathrm{长方体}} = 15 × 12 × 10 = 1800 \mathrm{cm}^3$。
2.计算圆柱体的体积：
圆柱的直径为5厘米，半径为2.5厘米，高为12厘米。
圆柱体积公式为：$V = π r^2 h$。
所以，圆柱的体积为：
$V_{\mathrm{圆柱}} = π × (2.5)^2 × 12 = 235.5 \mathrm{cm}^3 （$取$π \approx 3.14）$。
3.计算剩余木料的体积：
剩余体积为长方体体积减去圆柱体积：
$V_{\mathrm{剩余}} = 1800 - 235.5 = 1564.5 \mathrm{cm}^3$。
解析
根据题意和图示，首先需要计算长方体的体积，然后减去圆柱体的体积。
1.计算长方体的体积：
长方体的长、宽、高分别为15厘米、12厘米、10厘米。
体积公式为：V = 长 × 宽 × 高。
所以，长方体的体积为：
$V_{\mathrm{长方体}} = 15 × 12 × 10 = 1800 \mathrm{cm}^3$。
2.计算圆柱体的体积：
圆柱的直径为5厘米，半径为2.5厘米，高为12厘米。
圆柱体积公式为：$V = π r^2 h$。
所以，圆柱的体积为：
$V_{\mathrm{圆柱}} = π × (2.5)^2 × 12 = 235.5 \mathrm{cm}^3 （$取$π \approx 3.14）$。
3.计算剩余木料的体积：
剩余体积为长方体体积减去圆柱体积：
$V_{\mathrm{剩余}} = 1800 - 235.5 = 1564.5 \mathrm{cm}^3$。
1.计算长方体的体积：
长方体的长、宽、高分别为15厘米、12厘米、10厘米。
体积公式为：V = 长 × 宽 × 高。
所以，长方体的体积为：
$V_{\mathrm{长方体}} = 15 × 12 × 10 = 1800 \mathrm{cm}^3$。
2.计算圆柱体的体积：
圆柱的直径为5厘米，半径为2.5厘米，高为12厘米。
圆柱体积公式为：$V = π r^2 h$。
所以，圆柱的体积为：
$V_{\mathrm{圆柱}} = π × (2.5)^2 × 12 = 235.5 \mathrm{cm}^3 （$取$π \approx 3.14）$。
3.计算剩余木料的体积：
剩余体积为长方体体积减去圆柱体积：
$V_{\mathrm{剩余}} = 1800 - 235.5 = 1564.5 \mathrm{cm}^3$。
3. 小林在测量一个铅球的体积时，把铅球浸没在底面直径为 $2\,\mathrm{dm}$ 的圆柱形水桶中，水面高度由原来的 $1.5\,\mathrm{dm}$ 上升到 $2\,\mathrm{dm}$，求这个铅球的体积。
答案
圆柱形水桶底面半径：$2÷2=1\,\mathrm{dm}$；水面上升高度：$2 - 1.5=0.5\,\mathrm{dm}$；铅球体积：$3.14×1^2×0.5=1.57\,\mathrm{dm}^3$
解析
圆柱形水桶底面半径：$2÷2=1\,\mathrm{dm}$；水面上升高度：$2 - 1.5=0.5\,\mathrm{dm}$；铅球体积：$3.14×1^2×0.5=1.57\,\mathrm{dm}^3$
4. 一个玻璃瓶容器（如右边图 $1$），瓶底内直径是 $8\,\mathrm{cm}$，先在瓶子里注入 $3\,\mathrm{cm}$ 深的水，然后把瓶盖盖好，再把瓶子倒着放，没水的部分是圆柱形的，测出的高度是 $12\,\mathrm{cm}$（如右边图 $2$）。请你算出这个瓶子的容积。
答案
$8÷2=4\,\mathrm{cm}$
$3.14×4^2×(3+12)$
$=3.14×16×15$
$=50.24×15$
$=753.6\,\mathrm{cm}^3$
$753.6\,\mathrm{cm}^3=753.6\,\mathrm{mL}$
答：这个瓶子的容积是$753.6\,\mathrm{mL}$。
$3.14×4^2×(3+12)$
$=3.14×16×15$
$=50.24×15$
$=753.6\,\mathrm{cm}^3$
$753.6\,\mathrm{cm}^3=753.6\,\mathrm{mL}$
答：这个瓶子的容积是$753.6\,\mathrm{mL}$。
解析
$8÷2=4\,\mathrm{cm}$
$3.14×4^2×(3+12)$
$=3.14×16×15$
$=50.24×15$
$=753.6\,\mathrm{cm}^3$
$753.6\,\mathrm{cm}^3=753.6\,\mathrm{mL}$
答：这个瓶子的容积是$753.6\,\mathrm{mL}$。
$3.14×4^2×(3+12)$
$=3.14×16×15$
$=50.24×15$
$=753.6\,\mathrm{cm}^3$
$753.6\,\mathrm{cm}^3=753.6\,\mathrm{mL}$
答：这个瓶子的容积是$753.6\,\mathrm{mL}$。
