12.(7分)已知关于$x$的方程$x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若此方程的一个根为$1$,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.

（1）证明：
对于方程$x^2 - (m + 2)x + (2m - 1) = 0$，其判别式为：
$\Delta = (m + 2)^2 - 4 × 1 × (2m - 1)$
$= m^2 + 4m + 4 - 8m + 4$
$= m^2 - 4m + 8$
$= (m - 2)^2 + 4$
由于$(m - 2)^2 \geq 0$，所以$(m - 2)^2 + 4 ＞ 0$。
因此，无论$m$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）将$x = 1$代入方程$x^2 - (m + 2)x + (2m - 1) = 0$，得：
$1 - (m + 2) + (2m - 1) = 0$，
解得：$m = 2$。
将$m = 2$代入原方程，得：
$x^2 - 4x + 3 = 0$，
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
因此，方程的另一个根为$3$。
当$1$和$3$为直角边时，斜边为$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
此时周长为：$1 + 3 + \sqrt{10} = 4 + \sqrt{10}$。
当$3$为斜边时，另一直角边为$\sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$，
此时周长为：$1 + 3 + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$。
综上，以此两根为边长的直角三角形的周长为$4 + \sqrt{10}$或$4 + 2\sqrt{2}$。

13.(8分)某水果店销售一种进价为40元/千克的优质水果,经市场调查发现:若售价为50元/千克,则一个月可出售500千克;若销售价每涨1元,则月销售量就减少10千克.
(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?
(2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元?

(1) 售价为55元/千克时，比50元上涨了5元，月销售量减少$10×5 = 50$千克，故每月销售量为$500 - 50 = 450$千克。
(2) 设每千克水果售价为$x$元，由题意得：
每千克利润为$(x - 40)$元，月销售量为$500 - 10(x - 50) = 1000 - 10x$千克。
根据利润公式可得方程：$(x - 40)(1000 - 10x) = 8750$
化简得：$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8750$
整理为：$x^2 - 140x + 4875 = 0$
解得：$x_1 = 65$，$x_2 = 75$
(1) 450千克；(2) 65元或75元。