5.已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示,$OA = OC$,则由抛物线的特征写出如下含有$a$,$b$,$c$这3个字母的等式或不等式:①$\frac{4ac - b^2}{4a}=-1$;②$ac + b + 1 = 0$;③$abc＞0$;④$a - b + c＞0$.其中,正确的有()。


A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

C

由图像可知二次函数$y=ax^2+bx+c$的性质如下：
1. 开口向上，则$a＞0$；
2. 顶点纵坐标为-1，根据顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=-1$，故①正确；
3. 与y轴交于点$C(0,c)$，$c＜0$（交于负半轴），则$OC=|c|=-c$；与x轴负半轴交于点$A$，$OA=OC$，则$A(c,0)$（$c＜0$），代入抛物线方程得$ac^2+bc+c=0$，$c≠0$，化简得$ac+b+1=0$，故②正确；
4. $a＞0$，$c＜0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$（顶点在y轴右侧），则$b＜0$，故$abc=(+)(-)(-)=+＞0$，但当$c=-1$时，$b=0$，$abc=0$，③错误；
5. 当$x=-1$时，$y=a-b+c$，若$c=-1$，则$y=0$，故④错误。
综上，正确的为①②，共2个。

6.把抛物线$y = x^2-2x + 3$沿$x$轴向右平移2个单位长度,得到的抛物线解析式为.

$y = x^2 - 6x + 11$（（或$y = (x - 3)^2 + 2$））。

将抛物线的一般式 $y = x^2 - 2x + 3$ 转化为顶点式，可得：
$y = (x - 1)^2 + 2$，
根据平移规律，沿 $x$ 轴向右平移 2 个单位长度，将 $x$ 替换为 $x - 2$，得到新的抛物线解析式：
$y = (x - 1 - 2)^2 + 2$，
化简得：
$y = (x - 3)^2 + 2$，
进一步展开为一般式：
$y = x^2 - 6x + 11$。

7.如图,抛物线$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$与$x$轴的两个交点分别为$A(-1,0)$和$B(2,0)$,当$y＜0$时,$x$的取值范围是.

$x ＜ -1$ 或 $x ＞ 2$

根据题意和图可知，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $A(-1,0)$ 和 $B(2,0)$。当 $y ＜ 0$ 时，即抛物线在 $x$ 轴下方，对应的 $x$ 的取值范围是 $x$ 在 $A$ 和 $B$ 之间或之外的情况。
由于抛物线开口向下，当 $y ＜ 0$ 时，$x$ 的取值范围是 $x ＜ -1$ 或 $x ＞ 2$。

8.如图,直线$y = x + m$和抛物线$y = x^2 + bx + c$都经过点$A(1,0)$和$B(3,2)$,则不等式$x^2 + bx + c＞x + m$的解集为.

$x ＜ 1$或$x ＞ 3$

因为直线$y = x + m$和抛物线$y = x^2 + bx + c$都经过点$A(1,0)$和$B(3,2)$，观察图像可知，抛物线在直线上方时对应的$x$的取值范围是$x ＜ 1$或$x ＞ 3$，所以不等式$x^2 + bx + c＞x + m$的解集为$x ＜ 1$或$x ＞ 3$。

9.已知$A(0,3)$,$B(2,3)$是抛物线$y = -x^2 + bx + c$上两点,该抛物线的顶点坐标是.

$(1,4)$

已知点$A(0,3)$在抛物线上，代入$y = -x^2 + bx + c$得：
$3 = -0^2 + b · 0 + c \implies c = 3$。
已知点$B(2,3)$在抛物线上，代入得：
$3 = -2^2 + 2b + 3 \implies 3 = -4 + 2b + 3 \implies 2b = 4 \implies b = 2$。
因此抛物线的解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
抛物线的顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 · (-1)} = 1$，
将$x = 1$代入解析式得$y = -1^2 + 2 · 1 + 3 = 4$。
所以顶点坐标为$(1,4)$。

10.设$A$,$B$,$C$三点分别是抛物线$y = x^2-4x - 5$与$y$轴的交点以及与$x$轴的两个交点,则$\triangle ABC$的面积是.

$15$

首先，求抛物线与$y$轴的交点$A$。
当$x = 0$时，$y = -5$，
所以点$A$的坐标为$(0, -5)$。
接着，求抛物线与$x$轴的交点$B$和$C$。
当$y = 0$时，解方程$x^2 - 4x - 5 = 0$，
因式分解得$(x - 5)(x + 1) = 0$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = -1$。
所以，点$B$和点$C$的坐标分别为$(-1, 0)$和$(5, 0)$（或者反过来，不影响面积计算）。
然后，计算三角形$ABC$的面积。
$BC$的长度为$5 - (-1) = 6$，
$A$点的$y$坐标的绝对值为$5$，即三角形的高。
所以，三角形$ABC$的面积为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × 5 = \frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。