1.下列运算正确的是().

A.$(-3)^0=1$
B.$2^3 × 2^2 = 2^6$
C.$3^{-1} = -3$
D.$2^6 ÷ 2^2 = 2^3$

A

A 选项任何非零数的 0 次幂都等于 1，$(-3)^0 = 1$，该选项正确；
B 选项根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$2^3×2^2 = 2^{3 + 2}=2^5\neq2^6$，该选项错误；
C 选项根据负整数指数幂的定义，$3^{-1}=\frac{1}{3}\neq - 3$，该选项错误；
D 选项根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，$2^6÷2^2 = 2^{6 - 2}=2^4\neq2^3$，该选项错误。

2.在算式$(-3) □ (-4)^{-2} · \left| -\frac{1}{5} \right|$中的“$□$”里填入一个运算符号,使得它的结果最小.这个符号是().

A.+
B.-
C.$×$
D.$÷$

D

要使得算式的结果最小，需要分别计算填入不同运算符号时的结果：
先计算$(-4)^{-2}·\left|-\frac{1}{5}\right|$的值：
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$（$a\neq0$，$p$为正整数），可得$(-4)^{-2}=\frac{1}{(-4)^{2}}=\frac{1}{16}$。
又因为$\left|-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}$，所以$(-4)^{-2}·\left|-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{16}×\frac{1}{5}=\frac{1}{80}$。
分别计算填入不同运算符号时算式的结果：
填入“$+$”时：$(-3)+\frac{1}{80}=-2\frac{79}{80}$。
填入“$-$”时：$(-3)-\frac{1}{80}=-3\frac{1}{80}$。
填入“$×$”时：$(-3)×\frac{1}{80}=-\frac{3}{80}$。
填入“$÷$”时：$(-3)÷\frac{1}{80}=(-3)×80 = - 240$。
比较以上结果$-240\lt - 3\frac{1}{80}\lt - 2\frac{79}{80}\lt -\frac{3}{80}$，可知当填入“$÷$”时，算式的结果最小。

3.在中国科研团队的努力下,氮化镓量子光源芯片问世,将芯片输出波长最大值从$0.000 000 025 6$m 扩展至原来的 4 倍左右.将$0.000 000 025 6$用科学记数法表示为().

A.$2.56 × 10^{-9}$
B.$2.56 × 10^{-8}$
C.$0.256 × 10^{-9}$
D.$0.256 × 10^{-8}$

B

科学记数法的表示形式为$a×10^{n}$，其中$1\leq\vert a\vert＜10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\gt1$时，$n$是正数；当原数绝对值$\lt1$时，$n$是负数。
对于$0.0000000256$，要使$a$满足$1\leq\vert a\vert＜10$，则$a = 2.56$，原数小数点向右移动$8$位才得到$2.56$，所以$n=-8$，用科学记数法表示为$2.56×10^{-8}$。

4.如果$a = (-2 024)^0$,$b = \left( -\frac{1}{10} \right)^{-1}$,$c = \left( -\frac{5}{3} \right)^2$,那么它们的大小关系为().

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$a ＞ c ＞ b$
C.$c ＞ b ＞ a$
D.$c ＞ a ＞ b$

D

首先计算 $ a $，
$a = (-2024)^0 = 1$，
计算 $ b $，
$b = \left( -\frac{1}{10} \right)^{-1} = -10$，
计算 $ c $，
$c = \left( -\frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9}$，
比较 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小，
$\frac{25}{9} ＞ 1 ＞ -10$，
即 $ c ＞ a ＞ b $。

5.已知$2^a = 3$,$8^b = \frac{1}{6}$,则$(a + 3b + 1)^3$的值是().

A.0
B.-1
C.1
D.2

A

已知$2^{a}=3$，$8^{b}=\frac{1}{6}$，因为$8 = 2^{3}$，所以$(2^{3})^{b}=2^{3b}=\frac{1}{6}$。
则$2^{a}×2^{3b}=3×\frac{1}{6}=\frac{1}{2}=2^{-1}$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{a + 3b}=2^{-1}$，所以$a + 3b=-1$。
将$a + 3b=-1$代入$(a + 3b + 1)^{3}$可得$(-1 + 1)^{3}=0^{3}=0$。

6.比较大小:$3^{-1}\_\_\_\_\_\left( \frac{1}{3} \right)^0$.

＜（这里填的是小于号对应的内容，按题目要求用符号填空）

首先根据负整数指数幂的意义可知$3^{-1}=\frac{1}{3}$；再根据零指数幂的意义可知$(\frac{1}{3})^0 = 1$。因为$\frac{1}{3}\lt1$，所以$3^{-1}\lt(\frac{1}{3})^0$。

7.若$a$,$b$互为相反数,$c$,$d$互为倒数,则$(a + b)(a - b) - (cd)^{-3} =$.

-1

因为a，b互为相反数，所以a+b=0；因为c，d互为倒数，所以cd=1。则原式$=0×(a - b) - 1^{-3}=0 - 1=-1。$

8.把$-0.000 236$用科学记数法表示为.

（此处假设是填空题直接写答案形式）$-2.36×10^{-4}$

科学记数法的表示形式为$a × 10^{n}$，其中$1\leq \vert a\vert＜10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\gt1$时，$n$是正数；当原数的绝对值$\lt 1$时，$n$是负数。对于$-0.000236$，从左边起第一个不为零的数字是$2$，前面$0$的个数为$4$个，所以$n=-4$，$a = - 2.36$，则用科学记数法表示为$-2.36×10^{-4}$。

9.已知$\vert a \vert = 3$,且$(a - 3)^0 = 1$,则$a^{-3}$的值为.

$-\frac{1}{27}$（或填写为对应选项字母）

已知 $|a| = 3$，所以 $a = 3$ 或 $a = -3$。
又 $(a - 3)^0 = 1$，根据零指数幂的定义，底数 $a - 3 \neq 0$，即 $a \neq 3$。
因此 $a = -3$。
计算 $a^{-3}$：
$a^{-3} = (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$。

10.如果$a$,$b$,$c$是整数,且$a^c = b$,那么我们规定一种记号$(a,b) = c$,如$3^2 = 9$记作$(3,9) = 2$.根据以上规定,$\left( -2, -\frac{1}{32} \right) =$.

$-5$

根据题意，需要找到整数$c$，使得$(-2)^c = -\frac{1}{32}$。
将$-\frac{1}{32}$表示为$-2$的幂次形式：
$-\frac{1}{32} = -2^{-5}$，
因为$(-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$。
所以，$c = -5$。
根据题目中的记号定义，有：
$\left( -2, -\frac{1}{32} \right) = -5$。

11.(7 分)计算:$-\left| -\frac{3}{4} \right| + (3.14 - \pi)^0 - 2^{-2}$.

$-\left| -\frac{3}{4} \right|$
$ = -\frac{3}{4}$
$(3.14 - \pi)^0$
$= 1$（任何非零数的0次幂都是1）
$2^{-2} $
$= \frac{1}{4}$
将这三个结果相加，即：
$-\frac{3}{4} + 1 - \frac{1}{4}$
$ = -\frac{3}{4} + \frac{4}{4} - \frac{1}{4} $
$= 0$
综上所述，本题答案是：$0$。