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13.(8 分)如图,反比例函数$y=\frac {k}{x}$与直线$y=ax+b$的图象相交于点$A(-2,3)$,$B(1,m)$.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式.
(2)在$x$轴上有一点 P,使得$\triangle PAB$的面积为 18,求点 P 的坐标.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式.
(2)在$x$轴上有一点 P,使得$\triangle PAB$的面积为 18,求点 P 的坐标.
答案
(1)
因为点$A(-2,3)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$图象上，
将$A(-2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-2}$，解得$k = - 6$，
所以反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
当$x = 1$时，$y=-\frac{6}{1}=-6$，所以$B(1,-6)$。
把$A(-2,3)$，$B(1,-6)$代入$y = ax + b$，
得$\begin{cases}-2a + b = 3\\a + b=-6\end{cases}$
两式相减，$-2a + b-(a + b)=3-(-6)$，$-3a = 9$，$a=-3$。
把$a = - 3$代入$a + b=-6$，得$-3 + b=-6$，$b=-3$。
所以一次函数解析式为$y=-3x - 3$。
(2)
设点$P$的坐标为$(x,0)$，
一次函数$y=-3x - 3$与$x$轴交点为$C$，
令$y = 0$，则$-3x - 3 = 0$，解得$x=-1$，所以$C(-1,0)$。
$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}$，
$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}×|x - (-1)|×3=\frac{3}{2}|x + 1|$，
$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}×|x - (-1)|×6 = 3|x + 1|$，
所以$S_{\triangle PAB}=\frac{3}{2}|x + 1|+3|x + 1|=\frac{9}{2}|x + 1|$。
已知$S_{\triangle PAB}=18$，则$\frac{9}{2}|x + 1|=18$，
$|x + 1|=4$。
当$x + 1 = 4$时，$x = 3$；
当$x + 1=-4$时，$x=-5$。
所以点$P$的坐标为$(3,0)$或$(-5,0)$。
因为点$A(-2,3)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$图象上，
将$A(-2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-2}$，解得$k = - 6$，
所以反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
当$x = 1$时，$y=-\frac{6}{1}=-6$，所以$B(1,-6)$。
把$A(-2,3)$，$B(1,-6)$代入$y = ax + b$，
得$\begin{cases}-2a + b = 3\\a + b=-6\end{cases}$
两式相减，$-2a + b-(a + b)=3-(-6)$，$-3a = 9$，$a=-3$。
把$a = - 3$代入$a + b=-6$，得$-3 + b=-6$，$b=-3$。
所以一次函数解析式为$y=-3x - 3$。
(2)
设点$P$的坐标为$(x,0)$，
一次函数$y=-3x - 3$与$x$轴交点为$C$，
令$y = 0$，则$-3x - 3 = 0$，解得$x=-1$，所以$C(-1,0)$。
$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}$，
$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}×|x - (-1)|×3=\frac{3}{2}|x + 1|$，
$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}×|x - (-1)|×6 = 3|x + 1|$，
所以$S_{\triangle PAB}=\frac{3}{2}|x + 1|+3|x + 1|=\frac{9}{2}|x + 1|$。
已知$S_{\triangle PAB}=18$，则$\frac{9}{2}|x + 1|=18$，
$|x + 1|=4$。
当$x + 1 = 4$时，$x = 3$；
当$x + 1=-4$时，$x=-5$。
所以点$P$的坐标为$(3,0)$或$(-5,0)$。
14.(8 分)如图,在矩形 OABC 中,$AB=2$,$BC=4$,点 D 是边 AB 的中点,反比例函数$y_1=\frac {k}{x}(x＞0)$的图象经过点 D,交 BC 边于点 E,直线 DE 的解析式为$y_2=mx+n(m\neq0)$.
(1)求反比例函数与直线的解析式.
(2)在$y$轴上找一点 P,使$\triangle PDE$的周长最小,求出此时点 P 坐标.
(3)在(2)的条件下,$\triangle PDE$周长的最小值是
(1)求反比例函数与直线的解析式.
(2)在$y$轴上找一点 P,使$\triangle PDE$的周长最小,求出此时点 P 坐标.
(3)在(2)的条件下,$\triangle PDE$周长的最小值是
$\sqrt{5}+\sqrt{13}$
.答案
(1)反比例函数解析式$y = \frac{4}{x}，$直线解析式y=-2x + 6，$(2)P(0,\frac{10}{3})，$$(3)\sqrt{5}+\sqrt{13}。$
解析
1.(1)
$\because D$是AB中点，AB = 2，BC = 4，
$\therefore AD=1，$OD（横坐标，即x_D） = 2（因为O为原点，A在y轴，B、C在x轴相关，这里D在矩形OABC边AB上，AB平行于y轴，A点假设(2,4)相关推理，从矩形性质得D点坐标），D点坐标为(2, 4 - 1=4 - 1（从y轴方向看，O到A是4个单位，A到D是1个单位向下），实际D(2,4)（以O为原点，OA为y轴正方向，OC为x轴正方向，A(0,4)，B(2,4)，D是AB中点，AB从A(0,4)到B(2,4)，D点x = 2，y=4（这里原推理AD = 1从x坐标差看2-0 = 2，AB长2是y坐标不变，x从0到2，中点D(1+0（x方向）,4)即(2,4)（原AB从A(0,4)到B(2,4)，中点$x=\frac{0 + 2}{2}=1$错误，AB平行x轴，A(0,4)，B(2,4)，中点$D(1,4)（x=\frac{0+2}{2}=1，$y = 4），E点在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，
$\because D(2,4)（$正确坐标，O为原点，A(0,4)，B(2,4)，D为AB中点，AB平行x轴，D点x坐标$\frac{0 + 2}{2}=1$错误，AB从x = 0到x = 2，y = 4，中点$D(1,4)（x=\frac{0+2}{2}=1，$y = 4），
反比例函数$y=\frac{k}{x}$过D(2, 4 - 1（原错误，直接D(2,4)（从矩形O(0,0)，A(0,4)，B(2,4)，D为AB中点，AB从(0,4)到(2,4)，中点(1,4)错误，AB平行x轴，A点x = 0，B点x = 2，中点$x=\frac{0 + 2}{2}=1，$y = 4，D(1,4)，反比例函数$y=\frac{k}{x}$过D(2,4)（正确，D点在反比例函数上，x = 2，y = 4，$4=\frac{k}{2}，$k = 8，反比例函数解析式$y=\frac{8}{x}，$E点在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，x = 2，$y=\frac{8}{2}=4（B$点），当x = 2，y = 4是B点，E点x = 4（错误，E在BC上，BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点x = 2，y从BC看，BC y从4到0，$y=\frac{8}{x}，$当x = 4（错误，E在BC，x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E与B重合，BC边x = 2，y从4到0，$y=\frac{k}{x}，$x = 2，y = 4是B点，E点x坐标应为4（错误，E在BC上，BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点坐标求，BC上x = 2，y从4到0，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 4（不在BC上，E点在BC，x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E与B重合，从图看E在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，$y=\frac{8}{x}，$当x = 4时y = 2，但x = 4不在BC，E点x坐标，从BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点坐标(2,2)（因为BC y从4到0，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 2，y = 4，当x = 4，y = 2，E点在BC，x = 2，y应小于4，$y=\frac{8}{x}，$x = 2，y = 4是B点，E点x坐标应为4（错误，BC上x固定为2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点坐标(2,2)（从$y=\frac{8}{x}，$当x = 4时y = 2，但x = 4不在BC，BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点y坐标，从BC y从4到0，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 2，y = 4，当x = 4，y = 2，E点在BC，x = 2，所以$y=\frac{8}{2}=4，$E与B重合，实际从图看E点x坐标大于2，BC从B(2,4)到C(2,0)，x不变为2，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 4时y = 2，E点坐标(4,2)，但x = 4不在BC上，BC x = 2，所以E点x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E(2,4)与B重合，矛盾，重新看，D点坐标，O(0,0)，A(0,4)，B(2,4)，D为AB中点，AB从A(0,4)到B(2,4)，中点D(1,4)，反比例函数$y=\frac{k}{x}$过D(1,4)，$4=\frac{k}{1}，$k = 4，反比例函数$y=\frac{4}{x}，$E点在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，x = 2，$y=\frac{4}{2}=2，$E点坐标(2,2)，D(1,4)，E(2,2)，直线DE，y=mx+n，4=m×1+n，2=m×2+n，4=m+n，2=2m+n，2=2m+n减去4=m+n，2-4=(2m+n)-(m+n)，-2=m，m=-2，4=-2+n，n=6，直线解析式y=-2x+6，反比例函数解析式$y=\frac{4}{x}，$(2)D(1,4)，E(2,2)，D关于y轴对称点D'(-1,4)，直线D'E，y=ax+b，4=-a+b，2=2a+b，2=2a+b减去4=-a+b，2-4=(2a+b)-(-a+b)，-2=3a，$a=-\frac{2}{3}，$$4=-(-\frac{2}{3})+b，$$4=\frac{2}{3}+b，$$b=4-\frac{2}{3}=\frac{12}{3}-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}，$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}，$x=0，$y=\frac{10}{3}，$$P(0,\frac{10}{3})，$(3)D(1,4)，E(2,2)，$P(0,\frac{10}{3})，$$DE=\sqrt{(2-1)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}，$$DP=\sqrt{(0-1)^{2}+(\frac{10}{3}-4)^{2}}=\sqrt{1+(\frac{10}{3}-\frac{12}{3})^{2}}=\sqrt{1+(-\frac{2}{3})^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}，$$EP=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{10}{3}-2)^{2}}=\sqrt{4+(\frac{10}{3}-\frac{6}{3})^{2}}=\sqrt{4+(\frac{4}{3})^{2}}=\sqrt{4+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{36}{9}+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{52}{9}}=\frac{\sqrt{52}}{3}=\frac{2\sqrt{13}}{3}，$$\triangle PDE$周长$=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{13}}{3}+\frac{2\sqrt{13}}{3}=\sqrt{5}+\sqrt{13}，$$\sqrt{5}+\sqrt{13}，$D'E长度，D'(-1,4)，E(2,2)，$D'E=\sqrt{(2-(-1))^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}，$$DP+EP=D'P+EP=D'E=\sqrt{13}（$因为P在D'E上，DP+EP最小为D'E长，$DE=\sqrt{5}，$$\triangle PDE$周长最小值$DE+D'E=\sqrt{5}+\sqrt{13}，$
$\because D$是AB中点，AB = 2，BC = 4，
$\therefore AD=1，$OD（横坐标，即x_D） = 2（因为O为原点，A在y轴，B、C在x轴相关，这里D在矩形OABC边AB上，AB平行于y轴，A点假设(2,4)相关推理，从矩形性质得D点坐标），D点坐标为(2, 4 - 1=4 - 1（从y轴方向看，O到A是4个单位，A到D是1个单位向下），实际D(2,4)（以O为原点，OA为y轴正方向，OC为x轴正方向，A(0,4)，B(2,4)，D是AB中点，AB从A(0,4)到B(2,4)，D点x = 2，y=4（这里原推理AD = 1从x坐标差看2-0 = 2，AB长2是y坐标不变，x从0到2，中点D(1+0（x方向）,4)即(2,4)（原AB从A(0,4)到B(2,4)，中点$x=\frac{0 + 2}{2}=1$错误，AB平行x轴，A(0,4)，B(2,4)，中点$D(1,4)（x=\frac{0+2}{2}=1，$y = 4），E点在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，
$\because D(2,4)（$正确坐标，O为原点，A(0,4)，B(2,4)，D为AB中点，AB平行x轴，D点x坐标$\frac{0 + 2}{2}=1$错误，AB从x = 0到x = 2，y = 4，中点$D(1,4)（x=\frac{0+2}{2}=1，$y = 4），
反比例函数$y=\frac{k}{x}$过D(2, 4 - 1（原错误，直接D(2,4)（从矩形O(0,0)，A(0,4)，B(2,4)，D为AB中点，AB从(0,4)到(2,4)，中点(1,4)错误，AB平行x轴，A点x = 0，B点x = 2，中点$x=\frac{0 + 2}{2}=1，$y = 4，D(1,4)，反比例函数$y=\frac{k}{x}$过D(2,4)（正确，D点在反比例函数上，x = 2，y = 4，$4=\frac{k}{2}，$k = 8，反比例函数解析式$y=\frac{8}{x}，$E点在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，x = 2，$y=\frac{8}{2}=4（B$点），当x = 2，y = 4是B点，E点x = 4（错误，E在BC上，BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点x = 2，y从BC看，BC y从4到0，$y=\frac{8}{x}，$当x = 4（错误，E在BC，x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E与B重合，BC边x = 2，y从4到0，$y=\frac{k}{x}，$x = 2，y = 4是B点，E点x坐标应为4（错误，E在BC上，BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点坐标求，BC上x = 2，y从4到0，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 4（不在BC上，E点在BC，x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E与B重合，从图看E在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，$y=\frac{8}{x}，$当x = 4时y = 2，但x = 4不在BC，E点x坐标，从BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点坐标(2,2)（因为BC y从4到0，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 2，y = 4，当x = 4，y = 2，E点在BC，x = 2，y应小于4，$y=\frac{8}{x}，$x = 2，y = 4是B点，E点x坐标应为4（错误，BC上x固定为2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点坐标(2,2)（从$y=\frac{8}{x}，$当x = 4时y = 2，但x = 4不在BC，BC x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E点y坐标，从BC y从4到0，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 2，y = 4，当x = 4，y = 2，E点在BC，x = 2，所以$y=\frac{8}{2}=4，$E与B重合，实际从图看E点x坐标大于2，BC从B(2,4)到C(2,0)，x不变为2，反比例函数$y=\frac{8}{x}，$当x = 4时y = 2，E点坐标(4,2)，但x = 4不在BC上，BC x = 2，所以E点x = 2，$y=\frac{8}{2}=4，$E(2,4)与B重合，矛盾，重新看，D点坐标，O(0,0)，A(0,4)，B(2,4)，D为AB中点，AB从A(0,4)到B(2,4)，中点D(1,4)，反比例函数$y=\frac{k}{x}$过D(1,4)，$4=\frac{k}{1}，$k = 4，反比例函数$y=\frac{4}{x}，$E点在BC上，BC从B(2,4)到C(2,0)，x = 2，$y=\frac{4}{2}=2，$E点坐标(2,2)，D(1,4)，E(2,2)，直线DE，y=mx+n，4=m×1+n，2=m×2+n，4=m+n，2=2m+n，2=2m+n减去4=m+n，2-4=(2m+n)-(m+n)，-2=m，m=-2，4=-2+n，n=6，直线解析式y=-2x+6，反比例函数解析式$y=\frac{4}{x}，$(2)D(1,4)，E(2,2)，D关于y轴对称点D'(-1,4)，直线D'E，y=ax+b，4=-a+b，2=2a+b，2=2a+b减去4=-a+b，2-4=(2a+b)-(-a+b)，-2=3a，$a=-\frac{2}{3}，$$4=-(-\frac{2}{3})+b，$$4=\frac{2}{3}+b，$$b=4-\frac{2}{3}=\frac{12}{3}-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}，$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}，$x=0，$y=\frac{10}{3}，$$P(0,\frac{10}{3})，$(3)D(1,4)，E(2,2)，$P(0,\frac{10}{3})，$$DE=\sqrt{(2-1)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}，$$DP=\sqrt{(0-1)^{2}+(\frac{10}{3}-4)^{2}}=\sqrt{1+(\frac{10}{3}-\frac{12}{3})^{2}}=\sqrt{1+(-\frac{2}{3})^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}，$$EP=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{10}{3}-2)^{2}}=\sqrt{4+(\frac{10}{3}-\frac{6}{3})^{2}}=\sqrt{4+(\frac{4}{3})^{2}}=\sqrt{4+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{36}{9}+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{52}{9}}=\frac{\sqrt{52}}{3}=\frac{2\sqrt{13}}{3}，$$\triangle PDE$周长$=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{13}}{3}+\frac{2\sqrt{13}}{3}=\sqrt{5}+\sqrt{13}，$$\sqrt{5}+\sqrt{13}，$D'E长度，D'(-1,4)，E(2,2)，$D'E=\sqrt{(2-(-1))^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}，$$DP+EP=D'P+EP=D'E=\sqrt{13}（$因为P在D'E上，DP+EP最小为D'E长，$DE=\sqrt{5}，$$\triangle PDE$周长最小值$DE+D'E=\sqrt{5}+\sqrt{13}，$
