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一、选择题
1. $2\cos 60^{\circ}$的值为(
A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$
1. $2\cos 60^{\circ}$的值为(
A
)A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$
答案
1. A
解析
解：因为$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$2\cos 60^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1$。
A
A
2. 如果$∠ α$是等边三角形的一个内角，那么$\sin α$的值等于(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
答案
2. C
解析
因为等边三角形的三个内角都相等，且三角形内角和为$180°$，所以$∠α = 60°$。$\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故答案为C。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$\cos A = \frac{3}{5}$，$AC = 6\ cm$，那么$BC$等于(
A.$8\ cm$
B.$\frac{24}{5}\ cm$
C.$\frac{18}{5}\ cm$
D.$\frac{6}{5}\ cm$
A
)A.$8\ cm$
B.$\frac{24}{5}\ cm$
C.$\frac{18}{5}\ cm$
D.$\frac{6}{5}\ cm$
答案
3. A
解析
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$。
已知$AC=6\ \mathrm{cm}$，设$AB=5k$，则$AC=3k$。
由$3k=6$，得$k=2$，故$AB=5k=10\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
A
已知$AC=6\ \mathrm{cm}$，设$AB=5k$，则$AC=3k$。
由$3k=6$，得$k=2$，故$AB=5k=10\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
A
4. 如果$\sin ^{2}α + \cos ^{2}30^{\circ} = 1$，那么锐角$α$的度数是(
A.$15^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
B
)A.$15^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
4. B
解析
解：因为$\sin^{2}α+\cos^{2}30^{\circ}=1$，且$\sin^{2}θ+\cos^{2}θ=1$，所以$α = 30^{\circ}$。
B
B
5. 如图，坡面的水平距离$AC = 3\sqrt{2}$，铅垂距离$BC = \sqrt{6}$，则斜坡$AB$的坡度为(
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
C
)A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
答案
5. C
解析
解：斜坡的坡度为铅垂距离与水平距离的比，即$BC:AC$。
已知$AC = 3\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{6}$，则坡度为：
$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} ÷ \sqrt{2}}{3\sqrt{2} ÷ \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = 1:\sqrt{3}$
答案：C
已知$AC = 3\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{6}$，则坡度为：
$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} ÷ \sqrt{2}}{3\sqrt{2} ÷ \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = 1:\sqrt{3}$
答案：C
6. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$3a = \sqrt{3}b$，则$\cos A =$(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
6. C
解析
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，由$3a = \sqrt{3}b$，得$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，设$a = \sqrt{3}k$，$b = 3k$（$k＞0$）。
根据勾股定理，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3}k)^{2}+(3k)^{2}}=\sqrt{3k^{2}+9k^{2}}=\sqrt{12k^{2}}=2\sqrt{3}k$。
$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{3k}{2\sqrt{3}k}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
C
根据勾股定理，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3}k)^{2}+(3k)^{2}}=\sqrt{3k^{2}+9k^{2}}=\sqrt{12k^{2}}=2\sqrt{3}k$。
$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{3k}{2\sqrt{3}k}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
C
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，若$BD:AD = 1:4$，则$\tan ∠ BCD$的值是(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
C
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
7. C
解析
解：设 $ BD = k $，则 $ AD = 4k $，$ AB = AD + BD = 5k $。
因为 $ ∠ ACB = 90° $，$ CD ⊥ AB $，所以 $ ∠ BCD + ∠ ACD = 90° $，$ ∠ A + ∠ ACD = 90° $，故 $ ∠ BCD = ∠ A $。
由射影定理得 $ CD^2 = AD · BD = 4k · k = 4k^2 $，则 $ CD = 2k $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ \tan ∠ BCD = \frac{BD}{CD} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} $。
答案：C
因为 $ ∠ ACB = 90° $，$ CD ⊥ AB $，所以 $ ∠ BCD + ∠ ACD = 90° $，$ ∠ A + ∠ ACD = 90° $，故 $ ∠ BCD = ∠ A $。
由射影定理得 $ CD^2 = AD · BD = 4k · k = 4k^2 $，则 $ CD = 2k $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ \tan ∠ BCD = \frac{BD}{CD} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} $。
答案：C
8. 如图，$\odot O$的半径为$5\ cm$，弦$AB$的长为$8\ cm$，$P$是$AB$延长线上的一点，$BP = 2\ cm$，则$\tan ∠ OPA$等于(
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$
D
)A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
8. D
解析
解：过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，则$AC = CB = \frac{1}{2}AB = 4\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ OAC$中，$OA = 5\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\ \mathrm{cm}$
$CP = CB + BP = 4 + 2 = 6\ \mathrm{cm}$
在$Rt△ OCP$中，$\tan ∠ OPA = \frac{OC}{CP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
答案：D
在$Rt△ OAC$中，$OA = 5\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\ \mathrm{cm}$
$CP = CB + BP = 4 + 2 = 6\ \mathrm{cm}$
在$Rt△ OCP$中，$\tan ∠ OPA = \frac{OC}{CP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
答案：D
9. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$且$△ ABC$不是等腰直角三角形，设$\sin B = n$，当$∠ B$是最小的内角时，$n$的取值范围是(
A.$0 ＜ n ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$0 ＜ n ＜ \frac{1}{2}$
C.$0 ＜ n ＜ \frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$0 ＜ n ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$
A
)A.$0 ＜ n ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$0 ＜ n ＜ \frac{1}{2}$
C.$0 ＜ n ＜ \frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$0 ＜ n ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
9. A
解析
在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，则$∠ A+∠ B=90^{\circ}$。
因为$∠ B$是最小的内角，所以$∠ B＜∠ A$，即$∠ B＜45^{\circ}$（若$∠ B=45^{\circ}$，则$∠ A=45^{\circ}$，此时为等腰直角三角形，与题设矛盾）。
又因为$∠ B$是内角，所以$0^{\circ}＜∠ B＜45^{\circ}$。
由于$\sin B$在$0^{\circ}＜B＜90^{\circ}$时单调递增，且$\sin 0^{\circ}=0$，$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$0＜\sin B＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$0＜n＜\frac{\sqrt{2}}{2}$。
A
因为$∠ B$是最小的内角，所以$∠ B＜∠ A$，即$∠ B＜45^{\circ}$（若$∠ B=45^{\circ}$，则$∠ A=45^{\circ}$，此时为等腰直角三角形，与题设矛盾）。
又因为$∠ B$是内角，所以$0^{\circ}＜∠ B＜45^{\circ}$。
由于$\sin B$在$0^{\circ}＜B＜90^{\circ}$时单调递增，且$\sin 0^{\circ}=0$，$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$0＜\sin B＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$0＜n＜\frac{\sqrt{2}}{2}$。
A
10. 王英同学从$A$地沿北偏西$60^{\circ}$方向走$100\ m$到$B$地，再从$B$地向正南方向走$200\ m$到$C$地，此时王英同学离$A$地(
A.$50\sqrt{3}\ m$
B.$100\ m$
C.$150\ m$
D.$100\sqrt{3}\ m$
D
)A.$50\sqrt{3}\ m$
B.$100\ m$
C.$150\ m$
D.$100\sqrt{3}\ m$
答案
10. D
解析
解：以A为原点建立平面直角坐标系，
A地坐标为$(0,0)$。
从A沿北偏西$60°$走100m到B，B地坐标：$x=100\sin60°=50\sqrt{3}$，$y=100\cos60°=50$，即$B(50\sqrt{3},50)$。
从B向正南走200m到C，C地坐标：$x=50\sqrt{3}$，$y=50 - 200=-150$，即$C(50\sqrt{3},-150)$。
A、C距离：$\sqrt{(50\sqrt{3}-0)^2+(-150-0)^2}=\sqrt{7500 + 22500}=\sqrt{30000}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
D
A地坐标为$(0,0)$。
从A沿北偏西$60°$走100m到B，B地坐标：$x=100\sin60°=50\sqrt{3}$，$y=100\cos60°=50$，即$B(50\sqrt{3},50)$。
从B向正南走200m到C，C地坐标：$x=50\sqrt{3}$，$y=50 - 200=-150$，即$C(50\sqrt{3},-150)$。
A、C距离：$\sqrt{(50\sqrt{3}-0)^2+(-150-0)^2}=\sqrt{7500 + 22500}=\sqrt{30000}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
D
