1. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$AC = 1$，则 $\sin B$ 的值是()

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$2$

1. A

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，根据正弦函数定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}$。已知$AB=2$，$AC=1$，则$\sin B=\frac{1}{2}$。
A

2. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，则 $\sin B =$()

A.$\dfrac{BC}{AC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AC}{AB}$
D.$\dfrac{AB}{AC}$

2. C

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，则$\sin B=\dfrac{AC}{AB}$。
C

3. 在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 15$，$\sin A = \dfrac{1}{3}$，则 $BC =$.

3. 5

在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，根据正弦函数的定义，$\sin A=\dfrac{BC}{AB}$。已知$AB=15$，$\sin A=\dfrac{1}{3}$，则$\dfrac{BC}{15}=\dfrac{1}{3}$，解得$BC=15×\dfrac{1}{3}=5$。
5

4. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(2,1)$，点 $B(3,0)$，则 $\sin ∠ ABO =$.

4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

解：过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$，则$C(2,0)$。
$OC=2$，$AC=1$，$OB=3$，$BC=OB - OC=3 - 2=1$。
在$Rt△ ACB$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
在$Rt△ ACO$中，$AO=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
在$△ ABO$中，由余弦定理得：$\cos∠ ABO=\frac{OB^{2}+AB^{2}-AO^{2}}{2· OB· AB}=\frac{3^{2}+(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}{2×3×\sqrt{2}}=\frac{9 + 2 - 5}{6\sqrt{2}}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠ ABO$为三角形内角，所以$∠ ABO=45^{\circ}$，则$\sin∠ ABO=\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

5. 在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$\sin A = \dfrac{2}{3}$，求 $\sin B$ 的值.

5. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，所以$∠A + ∠B = 90^{\circ}$，则$∠B = 90^{\circ}-∠A$。
因为$\sin A=\frac{2}{3}$，根据三角函数平方关系$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$，可得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}=\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
又因为$\sin B=\sin(90^{\circ}-∠A)=\cos A$，所以$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\frac{\sqrt{5}}{3}$

6. 已知 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 是 $△ ABC$ 的三个内角，若 $\left|\sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right| + (\cos B - \dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0$，且 $∠ A$，$∠ B$ 均为锐角，则 $∠ C$ 的度数为多少？

6. $75^{\circ}$

因为$\left|\sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right| + (\cos B - \dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0$，$\cos B - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$。
由$\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ A$为锐角，得$∠ A = 60°$。
由$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$∠ B$为锐角，得$∠ B = 45°$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 45° = 75°$。
$75°$

7. 已知 $a$，$b$，$c$ 是 $△ ABC$ 的三边长，$a$，$b$，$c$ 满足等式 $b^2 = (c + a)(c - a)$，且 $5b - 4c = 0$，求 $\sin A + \sin B$ 的值.

7. $\frac{7}{5}$

由$b^2=(c+a)(c - a)$，得$b^2=c^2 - a^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$，所以$△ ABC$是直角三角形，且$c$为斜边。
由$5b - 4c = 0$，得$b = \frac{4}{5}c$。
设$c = 5k$（$k＞0$），则$b = 4k$。
由$a^2 + b^2 = c^2$，得$a^2 + (4k)^2=(5k)^2$，解得$a = 3k$（$a＞0$）。
在$Rt△ ABC$中，$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$。
所以$\sin A + \sin B=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}$。
$\frac{7}{5}$