登录
1. 如图，在正方形网格中有两个三角形$△ A_{1}B_{1}C_{1}$和$△ A_{2}B_{2}C_{2}$. 求证：$△ A_{1}B_{1}C_{1}∽△ A_{2}B_{2}C_{2}$.
答案
【解析】：设网格中每个小正方形的边长为1。
在$△A_{1}B_{1}C_{1}$中，$A_{1}B_{1}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$A_{1}C_{1}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，$B_{1}C_{1}=5$。
在$△A_{2}B_{2}C_{2}$中，$A_{2}B_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$A_{2}C_{2}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，$B_{2}C_{2}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
计算对应边的比值：$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
因为$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}$，所以$△A_{1}B_{1}C_{1}∽△A_{2}B_{2}C_{2}$。
【答案】：$△A_{1}B_{1}C_{1}∽△A_{2}B_{2}C_{2}$
在$△A_{1}B_{1}C_{1}$中，$A_{1}B_{1}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$A_{1}C_{1}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，$B_{1}C_{1}=5$。
在$△A_{2}B_{2}C_{2}$中，$A_{2}B_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$A_{2}C_{2}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，$B_{2}C_{2}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
计算对应边的比值：$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
因为$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}$，所以$△A_{1}B_{1}C_{1}∽△A_{2}B_{2}C_{2}$。
【答案】：$△A_{1}B_{1}C_{1}∽△A_{2}B_{2}C_{2}$
2. 如图，在等边$△ ABC$中，$E$是$AB$的中点，点$D$在$AC$上，且$DC = 2AD$. 求$\frac{DE}{BD}$的值.
答案
1/2
解析
设等边△ABC的边长为6，则AB=BC=AC=6。
∵E是AB中点，∴AE=EB=3。
∵DC=2AD，AC=6，∴AD=2，DC=4。
以B为原点，BC为x轴，过B垂直BC的直线为y轴建立坐标系：
B(0,0)，C(6,0)，A(3, 3√3)。
E为AB中点，坐标为( (3+0)/2, (3√3+0)/2 )=(1.5, (3√3)/2 )。
D在AC上，AD:DC=1:2，由定比分点公式得D(4, 2√3)。
计算DE：√[(4 - 1.5)² + (2√3 - (3√3)/2)²] = √[(5/2)² + (√3/2)²] = √(25/4 + 3/4)=√7。
计算BD：√[(4 - 0)² + (2√3 - 0)²] = √(16 + 12)=2√7。
∴DE/BD=√7/(2√7)=1/2。
∵E是AB中点，∴AE=EB=3。
∵DC=2AD，AC=6，∴AD=2，DC=4。
以B为原点，BC为x轴，过B垂直BC的直线为y轴建立坐标系：
B(0,0)，C(6,0)，A(3, 3√3)。
E为AB中点，坐标为( (3+0)/2, (3√3+0)/2 )=(1.5, (3√3)/2 )。
D在AC上，AD:DC=1:2，由定比分点公式得D(4, 2√3)。
计算DE：√[(4 - 1.5)² + (2√3 - (3√3)/2)²] = √[(5/2)² + (√3/2)²] = √(25/4 + 3/4)=√7。
计算BD：√[(4 - 0)² + (2√3 - 0)²] = √(16 + 12)=2√7。
∴DE/BD=√7/(2√7)=1/2。
3. 如图，$△ ABC$为等边三角形，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上，$∠ ADE = 60^{\circ}$. 若$BD = 4DC$，$DE = 2.4$，求$AD$的长.
答案
12
解析
设 $ DC = x $，则 $ BD = 4x $，等边 $ △ ABC $ 中 $ BC = AB = AC = 5x $。
$ \because △ ABC $ 为等边三角形，$ ∠ ADE = 60° $，
$ \therefore ∠ B = ∠ C = 60° $，$ ∠ ADB + ∠ CDE = 120° $。
在 $ △ ABD $ 中，$ ∠ ADB + ∠ BAD = 120° $，故 $ ∠ BAD = ∠ CDE $。
$ \therefore △ ABD ∼ △ DCE $（AA 相似）。
由相似比得 $ \frac{AD}{DE} = \frac{AB}{DC} $，即 $ \frac{AD}{2.4} = \frac{5x}{x} = 5 $，
解得 $ AD = 12 $。
$ \because △ ABC $ 为等边三角形，$ ∠ ADE = 60° $，
$ \therefore ∠ B = ∠ C = 60° $，$ ∠ ADB + ∠ CDE = 120° $。
在 $ △ ABD $ 中，$ ∠ ADB + ∠ BAD = 120° $，故 $ ∠ BAD = ∠ CDE $。
$ \therefore △ ABD ∼ △ DCE $（AA 相似）。
由相似比得 $ \frac{AD}{DE} = \frac{AB}{DC} $，即 $ \frac{AD}{2.4} = \frac{5x}{x} = 5 $，
解得 $ AD = 12 $。
4. 如图，直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，直线$AC$和$DF$被直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$所截，$AB = 5$，$BC = 6$，$EF = 4$，则$DE$的长为
$\frac{10}{3}$
.答案
$\frac{10}{3}$
解析
因为直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。已知$AB = 5$，$BC = 6$，$EF = 4$，则$\frac{5}{6}=\frac{DE}{4}$，解得$DE=\frac{5×4}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$。
5. 如图，直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，直线$AC$分别交直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$于点$A$，$B$，$C$，直线$DF$分别交直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$于点$D$，$E$，$F$，$AC$与$DF$相交于点$G$. 若$AG = 2$，$GB = 1$，$BC = 5$，则$\frac{DE}{EF}$的值为
$\frac{3}{5}$
.答案
$\frac{3}{5}$
解析
因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，$AC$与$DF$交于点$G$。
由$l_{1}// l_{2}$，得$△ AGD∼△ BGE$，则$\frac{AG}{BG}=\frac{DG}{EG}$。
已知$AG = 2$，$GB = 1$，所以$\frac{2}{1}=\frac{DG}{EG}$，即$DG = 2EG$。设$EG = m$，则$DG = 2m$，故$DE = DG + EG = 3m$。
由$l_{2}// l_{3}$，得$△ BGE∼△ CGF$，则$\frac{BG}{CG}=\frac{EG}{FG}$。
已知$GB = 1$，$BC = 5$，所以$GC = GB + BC = 6$，则$\frac{1}{6}=\frac{m}{FG}$，即$FG = 6m$。
因此$EF = FG - EG = 6m - m = 5m$。
所以$\frac{DE}{EF}=\frac{3m}{5m}=\frac{3}{5}$。
由$l_{1}// l_{2}$，得$△ AGD∼△ BGE$，则$\frac{AG}{BG}=\frac{DG}{EG}$。
已知$AG = 2$，$GB = 1$，所以$\frac{2}{1}=\frac{DG}{EG}$，即$DG = 2EG$。设$EG = m$，则$DG = 2m$，故$DE = DG + EG = 3m$。
由$l_{2}// l_{3}$，得$△ BGE∼△ CGF$，则$\frac{BG}{CG}=\frac{EG}{FG}$。
已知$GB = 1$，$BC = 5$，所以$GC = GB + BC = 6$，则$\frac{1}{6}=\frac{m}{FG}$，即$FG = 6m$。
因此$EF = FG - EG = 6m - m = 5m$。
所以$\frac{DE}{EF}=\frac{3m}{5m}=\frac{3}{5}$。
