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1. 如图①所示，河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为 $ y = -\frac{1}{25}x^{2} $，当水面离桥拱顶的高度 $ DO $ 是 $ 4 $ m 时，水面宽度 $ AB $ 为(
A.$ -20 $ m
B.$ 10 $ m
C.$ 20 $ m
D.$ -10 $ m
C
)A.$ -20 $ m
B.$ 10 $ m
C.$ 20 $ m
D.$ -10 $ m
答案
1. C
解析
解：由题意知，点$D$为抛物线顶点，$DO = 4\ \mathrm{m}$，则点$A$、$B$的纵坐标为$y=-4$。
将$y = -4$代入$y=-\frac{1}{25}x^{2}$，得：
$-4=-\frac{1}{25}x^{2}$
$x^{2}=100$
解得$x = \pm10$。
则点$A(-10,-4)$，点$B(10,-4)$，水面宽度$AB=10 - (-10)=20\ \mathrm{m}$。
答案：C
将$y = -4$代入$y=-\frac{1}{25}x^{2}$，得：
$-4=-\frac{1}{25}x^{2}$
$x^{2}=100$
解得$x = \pm10$。
则点$A(-10,-4)$，点$B(10,-4)$，水面宽度$AB=10 - (-10)=20\ \mathrm{m}$。
答案：C
2. (2024·济宁模拟)如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为 $ 80 $ 米，高度为 $ 200 $ 米，则离地面 $ 150 $ 米处的水平宽度(即 $ CD $ 的长)为(
A.$ 40 $ 米
B.$ 30 $ 米
C.$ 25 $ 米
D.$ 20 $ 米
A
)A.$ 40 $ 米
B.$ 30 $ 米
C.$ 25 $ 米
D.$ 20 $ 米
答案
2. A
解析
解：以抛物线底部中点为原点，水平方向为$x$轴，竖直方向为$y$轴建立直角坐标系。
抛物线顶点坐标为$(0,200)$，设抛物线方程为$y = ax^2 + 200$。
底部宽度为80米，故抛物线过点$(40,0)$，代入方程得：
$0 = a · 40^2 + 200$
$1600a = -200$
$a = -\frac{200}{1600} = -\frac{1}{8}$
抛物线方程为$y = -\frac{1}{8}x^2 + 200$。
当$y = 150$时：
$150 = -\frac{1}{8}x^2 + 200$
$\frac{1}{8}x^2 = 50$
$x^2 = 400$
$x = \pm 20$
则$CD = 20 - (-20) = 40$米。
A
抛物线顶点坐标为$(0,200)$，设抛物线方程为$y = ax^2 + 200$。
底部宽度为80米，故抛物线过点$(40,0)$，代入方程得：
$0 = a · 40^2 + 200$
$1600a = -200$
$a = -\frac{200}{1600} = -\frac{1}{8}$
抛物线方程为$y = -\frac{1}{8}x^2 + 200$。
当$y = 150$时：
$150 = -\frac{1}{8}x^2 + 200$
$\frac{1}{8}x^2 = 50$
$x^2 = 400$
$x = \pm 20$
则$CD = 20 - (-20) = 40$米。
A
3. (2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点 $ P $ 处)的高度 $ OP $ 是 $ \frac{7}{4} $ m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 $ 5 $ m，高度是 $ 4 $ m.若实心球落地点为 $ M $，则 $ OM = $
$\frac{35}{3}$
m.答案
3. $\frac{35}{3}$
解析
解：设抛物线的顶点式为$y=a(x-5)^2 + 4$。
因为点$P(0,\frac{7}{4})$在抛物线上，代入可得：
$\frac{7}{4}=a(0 - 5)^2+4$
$\frac{7}{4}=25a + 4$
$25a=\frac{7}{4}-4=\frac{7}{4}-\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}$
$a=-\frac{9}{4}÷25=-\frac{9}{100}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$。
令$y = 0$，则：
$0=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$
$\frac{9}{100}(x - 5)^2=4$
$(x - 5)^2=\frac{400}{9}$
$x - 5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=5+\frac{20}{3}=\frac{35}{3}$，$x_2=5-\frac{20}{3}=-\frac{5}{3}$（舍去）。
故$OM=\frac{35}{3}$ m。
$\frac{35}{3}$
因为点$P(0,\frac{7}{4})$在抛物线上，代入可得：
$\frac{7}{4}=a(0 - 5)^2+4$
$\frac{7}{4}=25a + 4$
$25a=\frac{7}{4}-4=\frac{7}{4}-\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}$
$a=-\frac{9}{4}÷25=-\frac{9}{100}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$。
令$y = 0$，则：
$0=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$
$\frac{9}{100}(x - 5)^2=4$
$(x - 5)^2=\frac{400}{9}$
$x - 5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=5+\frac{20}{3}=\frac{35}{3}$，$x_2=5-\frac{20}{3}=-\frac{5}{3}$（舍去）。
故$OM=\frac{35}{3}$ m。
$\frac{35}{3}$
4. (2024·锡山区模拟)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 $ 2 $ m 时，水面宽 $ 4 $ m.若水面上升 $ 1.5 $ m，求此时水面的宽度.
答案
4. 解:建立平面直角坐标系如答图.
设抛物线的函数表达式为 $y = ax^{2}$,
由已知可得,点 $(2,-2)$ 在此抛物线上,则 $-2 = a × 2^{2}$,解得 $a = -\frac{1}{2}$,$\therefore y = -\frac{1}{2}x^{2}$.
当 $y = -0.5$ 时,$-\frac{1}{2}x^{2} = -0.5$,解得 $x = \pm 1$,此时水面的宽度为 $1 - (-1) = 2(m)$.
答:此时水面的宽度为 $2m$.
5. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 $ h $(m)与飞行时间 $ t $(s)满足函数表达式 $ h = -t^{2} + 24t + 1 $，则下列说法中正确的是(
A.点火后 $ 9 $ s 和点火后 $ 13 $ s 的升空高度相同
B.点火后 $ 24 $ s 火箭落于地面
C.点火后 $ 10 $ s 的升空高度为 $ 139 $ m
D.火箭升空的最大高度为 $ 145 $ m
D
)A.点火后 $ 9 $ s 和点火后 $ 13 $ s 的升空高度相同
B.点火后 $ 24 $ s 火箭落于地面
C.点火后 $ 10 $ s 的升空高度为 $ 139 $ m
D.火箭升空的最大高度为 $ 145 $ m
答案
5. D
解析
A. 当$t=9$时，$h=-(9)^{2}+24×9 + 1=-81 + 216 + 1=136$；当$t=13$时，$h=-(13)^{2}+24×13 + 1=-169 + 312 + 1=144$，$136≠144$，A错误。
B. 令$h=0$，则$-t^{2}+24t + 1=0$，$t^{2}-24t - 1=0$，解得$t=\frac{24\pm\sqrt{576 + 4}}{2}=\frac{24\pm\sqrt{580}}{2}=12\pm\sqrt{145}$，$t=24$时$h=-(24)^{2}+24×24 + 1=1≠0$，B错误。
C. 当$t=10$时，$h=-(10)^{2}+24×10 + 1=-100 + 240 + 1=141≠139$，C错误。
D. $h=-t^{2}+24t + 1=-(t^{2}-24t)+1=-(t - 12)^{2}+144 + 1=-(t - 12)^{2}+145$，当$t=12$时，$h_{\mathrm{max}}=145$，D正确。
答案：D
B. 令$h=0$，则$-t^{2}+24t + 1=0$，$t^{2}-24t - 1=0$，解得$t=\frac{24\pm\sqrt{576 + 4}}{2}=\frac{24\pm\sqrt{580}}{2}=12\pm\sqrt{145}$，$t=24$时$h=-(24)^{2}+24×24 + 1=1≠0$，B错误。
C. 当$t=10$时，$h=-(10)^{2}+24×10 + 1=-100 + 240 + 1=141≠139$，C错误。
D. $h=-t^{2}+24t + 1=-(t^{2}-24t)+1=-(t - 12)^{2}+144 + 1=-(t - 12)^{2}+145$，当$t=12$时，$h_{\mathrm{max}}=145$，D正确。
答案：D
