2. 如图 $24.2.2 - 47$，$AB$，$AC$ 为$\odot O$ 的切线，$B$，$C$是切点，延长 $OB$ 到点 $D$，使 $BD = OB$，连接 $AD$. 如果$\angle DAC = 78°$，那么$\angle D =$()

A.$70°$
B.$64°$
C.$62°$
D.$51°$

2.B

解：
∵AB，AC为⊙O的切线，
∴AC=AB，∠OBA=∠OCA=90°，∠OAC=∠OAB。
设∠OAC=∠OAB=x，则∠DAC=∠OAC+∠OAD=x+∠OAD=78°，
∴∠OAD=78°-x。
∵BD=OB，
∴AB为Rt△OAD斜边OD上的中线，
∴AB=OB=BD，
∴OA=AD，
∴∠AOD=∠D。
在△OAD中，∠OAD+∠AOD+∠D=180°，
即78°-x+2∠D=180°，
∴2∠D=102°+x，
∴∠D=51°+$\frac{x}{2}$。
在Rt△OAB中，∠OAB=x，∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°-x，
∵∠AOB=∠AOD=∠D，
∴90°-x=51°+$\frac{x}{2}$，
解得x=26°，
∴∠D=90°-26°=64°。
答案：B

3. 如图 $24.2.2 - 48$，点 $O$ 是$\triangle ABC$ 的内心，过点 $O$ 作 $EF// AB$，与 $AC$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$，则()

A.$EF＞AE + BF$
B.$EF＜AE + BF$
C.$EF = AE + BF$
D.$EF\leqslant AE + BF$

3.C

证明：连接 $AO$，$BO$。
∵点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，
∴$AO$ 平分 $\angle CAB$，$BO$ 平分 $\angle CBA$，
即 $\angle EAO = \angle OAB$，$\angle FBO = \angle OBA$。
∵$EF // AB$，
∴$\angle EOA = \angle OAB$，$\angle FOB = \angle OBA$，
∴$\angle EAO = \angle EOA$，$\angle FBO = \angle FOB$，
∴$AE = EO$，$BF = FO$。
∵$EF = EO + FO$，
∴$EF = AE + BF$。
结论：C

4. 如图 $24.2.2 - 49$，$PA$，$PB$ 分别切$\odot O$ 于点 $A$，$B$，$\angle APB = 50°$，则$\angle AOP =$.

4.65°

证明：
∵PA，PB分别切$\odot O$于点A，B，
∴OA⊥PA，∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB.
∵∠APB=50°，
∴∠APO=$\frac{1}{2}×50°=25°$.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，
∴∠AOP=90°-∠APO=90°-25°=65°.
65°

5. 如图 $24.2.2 - 50$，$PA$，$PB$ 切$\odot O$ 于点 $A$，$B$，过点 $C$ 的切线交 $PA$，$PB$ 于点 $D$，$E$，$PA = 8\mathrm{cm}$，则$\triangle PDE$ 的周长为.

5.16cm

证明：
∵PA，PB切⊙O于点A，B，
∴PA=PB=8cm。
∵DC，DA切⊙O于点C，A，
∴DC=DA。
∵EC，EB切⊙O于点C，B，
∴EC=EB。
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16cm。
16cm

6. 如图 $24.2.2 - 51$，$PA$，$PB$ 分别切$\odot O$ 于 $A$，$B$两点，连接 $PO$ 与$\odot O$ 相交于点 $C$，连接 $AC$，$BC$，求证：$AC = BC$.

6.证明:因为PA，PB分别切⊙O于A,B 两点，
　所以PA=PB,∠APC=∠BPC.
　又因为PC=PC,所以△APC≌△BPC.所以AC=BC.

7. 如图 $24.2.2 - 52$ 所示，四边形 $ABCD$ 外切于$\odot O$，切点分别为 $E$，$F$，$G$，$H$，且 $AB = 16$，$CD = 10$，求四边形 $ABCD$ 的周长.

7.解:四边形ABCD的周长为52.

解：
∵四边形ABCD外切于$\odot O$，
∴$AE=AH$，$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
∴$AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=AD+BC$，
∵$AB=16$，$CD=10$，
∴$AD+BC=16+10=26$，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+AD=16+26+10=52$.

8. 如图 $24.2.2 - 53$，半圆 $O$ 与等腰直角三角形两腰 $CA$，$CB$ 分别切于 $D$，$E$ 两点，直径 $FG$ 在 $AB$ 上，若$BG=\sqrt{2} - 1$；则$\triangle ABC$ 的周长为.

8.$4+2\sqrt{2}$

解：设半圆$O$的半径为$r$，则$OG = r$，$OB = OG + BG = r + \sqrt{2}-1$。
连接$OD$，$OE$，则$OD\perp AC$，$OE\perp BC$。
$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle C = 90°$，
$\therefore \angle A=\angle B = 45°$，四边形$CDOE$是正方形，$CD = CE = r$。
在$Rt\triangle OEB$中，$\angle B = 45°$，$\therefore BE = OE = r$，$BC = CE + BE = 2r$。
$\because \cos B=\frac{BE}{OB}$，$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \frac{r}{r + \sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$r = 1$。
$\therefore BC = 2r = 2$，$AC = BC = 2$，$AB=\sqrt{2}BC = 2\sqrt{2}$。
$\triangle ABC$的周长为$AC + BC + AB=2 + 2 + 2\sqrt{2}=4 + 2\sqrt{2}$。
$4 + 2\sqrt{2}$

9. 如图 $24.2.2 - 54$，在四边形 $ABCD$ 中，$AD\perp AB$，$AD\perp CD$，以 $AD$ 为直径的圆切 $BC$ 于点 $E$，连接 $OB$，$OC$，则 $OB$ 与 $OC$ 有何位置关系？

9.解:OB与OC垂直.

解：OB与OC垂直。
证明：设以AD为直径的圆的圆心为O，半径为$r$。
∵AD为直径，AD⊥AB，AD⊥CD，
∴AB、CD为圆O的切线，切点分别为A、D。
∵BC切圆O于E，
∴BA=BE，CD=CE。
设AB=BE=a，CD=CE=b，AD=2r。
过B作BF⊥CD于F，则BF=AD=2r，CF=CD - AB=b - a。
在Rt△BFC中，$BC^2 = BF^2 + CF^2$，即$(a + b)^2 = (2r)^2 + (b - a)^2$，
化简得$ab = r^2$。
∵∠OAB=∠OEB=90°，OA=OE=r，OB=OB，
∴△OAB≌△OEB（HL），
∴∠AOB=∠EOB。
同理，△ODC≌△OEC（HL），
∴∠DOC=∠EOC。
∵∠AOB + ∠EOB + ∠DOC + ∠EOC=180°，
∴∠BOC=∠EOB + ∠EOC=90°，即OB⊥OC。
结论：OB⊥OC。

10. 如图 $24.2.2 - 55$ 所示，已知 $PA$，$PB$，$DE$ 分别切$\odot O$ 于 $A$，$B$，$C$ 三点.
(1) 若$\odot O$ 的半径为 $5\mathrm{cm}$，$\triangle PED$ 的周长为 $24\mathrm{cm}$，求 $PO$ 的长；
(2) 若$\angle APB = 50°$，求$\angle EOD$ 的度数.

10.解:
(1)13cm.　
(2)65°.