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【变式3】与分式$\frac{-a + b}{-a - b}$相等的是()。
A.$\frac{a - b}{a + b}$
B.$-\frac{a + b}{a - b}$
C.$\frac{a + b}{a - b}$
D.$-\frac{a - b}{a + b}$
A.$\frac{a - b}{a + b}$
B.$-\frac{a + b}{a - b}$
C.$\frac{a + b}{a - b}$
D.$-\frac{a - b}{a + b}$
答案
A
解析
将原分式$\frac{-a + b}{-a - b}$的分子和分母同时提取负号，
得到：$\frac{- (a - b)}{- (a + b)} = \frac{a - b}{a + b}$。
比较选项，发现与选项A一致。
得到：$\frac{- (a - b)}{- (a + b)} = \frac{a - b}{a + b}$。
比较选项，发现与选项A一致。
1. 根据分式的基本性质可知，$\frac{a}{b}=\frac{( )}{b^{2}}$，括号里应填()。
A.$a^{2}$
B.$b^{2}$
C.$ab$
D.$ab^{2}$
A.$a^{2}$
B.$b^{2}$
C.$ab$
D.$ab^{2}$
答案
C
解析
根据分式的基本性质，若分母从$b$变为$b^2$，即分母乘以$b$，则分子也应乘以$b$，以保持分式的值不变。
因此，$\frac{a}{b} = \frac{a × b}{b × b} = \frac{ab}{b^2}$，所以括号里应填$ab$。
因此，$\frac{a}{b} = \frac{a × b}{b × b} = \frac{ab}{b^2}$，所以括号里应填$ab$。
2. 下列各式中，从左到右的变形正确的是()。
A.$\frac{x + 1}{y + 1}=\frac{x}{y}$
B.$\frac{-x}{-y}=-\frac{x}{y}$
C.$\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{x}{y}$
D.$\frac{xy}{y^{2}}=\frac{x}{y}$
A.$\frac{x + 1}{y + 1}=\frac{x}{y}$
B.$\frac{-x}{-y}=-\frac{x}{y}$
C.$\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{x}{y}$
D.$\frac{xy}{y^{2}}=\frac{x}{y}$
答案
D
解析
A. 对于 $\frac{x + 1}{y + 1}$，不能直接简化为 $\frac{x}{y}$，因为分子和分母没有公因式可以约去，所以A选项错误。
B. 对于 $\frac{-x}{-y}$，根据分式的基本性质，负负得正，应等于 $\frac{x}{y}$，与B选项给出的 $-\frac{x}{y}$ 不符，所以B选项错误。
C. 对于 $\frac{x^{2}}{y^{2}}$，分子和分母都是平方项，但没有公因式可以约去（除非x和y有特定关系，但题目没有给出），所以不能直接简化为 $\frac{x}{y}$，C选项错误。
D. 对于 $\frac{xy}{y^{2}}$，分子和分母都含有y这个公因式，约去公因式后得到 $\frac{x}{y}$，与D选项一致，所以D选项正确。
B. 对于 $\frac{-x}{-y}$，根据分式的基本性质，负负得正，应等于 $\frac{x}{y}$，与B选项给出的 $-\frac{x}{y}$ 不符，所以B选项错误。
C. 对于 $\frac{x^{2}}{y^{2}}$，分子和分母都是平方项，但没有公因式可以约去（除非x和y有特定关系，但题目没有给出），所以不能直接简化为 $\frac{x}{y}$，C选项错误。
D. 对于 $\frac{xy}{y^{2}}$，分子和分母都含有y这个公因式，约去公因式后得到 $\frac{x}{y}$，与D选项一致，所以D选项正确。
3. 下列式子中，与$\frac{-x}{x - 1}$不相等的是()。
A.$-\frac{x}{x - 1}$
B.$\frac{x}{1 - x}$
C.$-\frac{-x}{1 - x}$
D.$-\frac{x}{1 - x}$
A.$-\frac{x}{x - 1}$
B.$\frac{x}{1 - x}$
C.$-\frac{-x}{1 - x}$
D.$-\frac{x}{1 - x}$
答案
D
解析
选项A：$-\frac{x}{x - 1} = \frac{-x}{x - 1}$，与原式相等；
选项B：$\frac{x}{1 - x} = \frac{x}{-(x - 1)} = \frac{-x}{x - 1}$，与原式相等；
选项C：$-\frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} = \frac{-x}{x - 1}$，与原式相等；
选项D：$-\frac{x}{1 - x} = -\frac{x}{-(x - 1)} = \frac{x}{x - 1}$，与原式不相等。
选项B：$\frac{x}{1 - x} = \frac{x}{-(x - 1)} = \frac{-x}{x - 1}$，与原式相等；
选项C：$-\frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} = \frac{-x}{x - 1}$，与原式相等；
选项D：$-\frac{x}{1 - x} = -\frac{x}{-(x - 1)} = \frac{x}{x - 1}$，与原式不相等。
4. 若把$x,y$的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是()。
A.$\frac{2x}{3y}$
B.$\frac{x + 1}{y - 1}$
C.$\frac{x}{y^{2}}$
D.$\frac{xy}{x + y}$
A.$\frac{2x}{3y}$
B.$\frac{x + 1}{y - 1}$
C.$\frac{x}{y^{2}}$
D.$\frac{xy}{x + y}$
答案
A
解析
依次分析选项，对于A选项，把$x,y$的值同时扩大为原来的2倍，分式$\frac{2x}{3y}$变为$\frac{2×(2x)}{3×(2y)}=\frac{2x}{3y}$，值保持不变。
对于B选项，把$x,y$的值同时扩大为原来的2倍，分式$\frac{x + 1}{y - 1}$变为$\frac{2x + 1}{2y - 1}$，值改变。
对于C选项，把$x,y$的值同时扩大为原来的2倍，分式$\frac{x}{y^{2}}$变为$\frac{2x}{(2y)^{2}}=\frac{2x}{4y^{2}}=\frac{x}{2y^{2}}$，值改变。
对于D选项，把$x,y$的值同时扩大为原来的2倍，分式$\frac{xy}{x + y}$变为$\frac{2x×2y}{2x + 2y}=\frac{4xy}{2(x + y)} = 2×\frac{xy}{x + y}$，值改变。
对于B选项，把$x,y$的值同时扩大为原来的2倍，分式$\frac{x + 1}{y - 1}$变为$\frac{2x + 1}{2y - 1}$，值改变。
对于C选项，把$x,y$的值同时扩大为原来的2倍，分式$\frac{x}{y^{2}}$变为$\frac{2x}{(2y)^{2}}=\frac{2x}{4y^{2}}=\frac{x}{2y^{2}}$，值改变。
对于D选项，把$x,y$的值同时扩大为原来的2倍，分式$\frac{xy}{x + y}$变为$\frac{2x×2y}{2x + 2y}=\frac{4xy}{2(x + y)} = 2×\frac{xy}{x + y}$，值改变。
5. 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项系数都是正数。
(1)$\frac{2 - 3x}{-x + 3}$；(2)$\frac{1 - 2x - 3x^{2}}{x + 1}$。
(1)$\frac{2 - 3x}{-x + 3}$；(2)$\frac{1 - 2x - 3x^{2}}{x + 1}$。
答案
(1)
$\begin{aligned}\frac{2 - 3x}{-x + 3}&=\frac{-(3x - 2)}{-(x - 3)}\\&=\frac{3x - 2}{x - 3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{1 - 2x - 3x^{2}}{x + 1}&=\frac{-(3x^{2} + 2x - 1)}{x + 1}\\&=-\frac{3x^{2} + 2x - 1}{x + 1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{2 - 3x}{-x + 3}&=\frac{-(3x - 2)}{-(x - 3)}\\&=\frac{3x - 2}{x - 3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{1 - 2x - 3x^{2}}{x + 1}&=\frac{-(3x^{2} + 2x - 1)}{x + 1}\\&=-\frac{3x^{2} + 2x - 1}{x + 1}\end{aligned}$
1. (2025普洱期末)下列各式从左到右的变形正确的是()。
A.$\frac{x + 3}{y + 3}=\frac{x}{y}$
B.$\frac{x}{y}=\frac{x^{2}}{y^{2}}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{x - 2}{y - 2}$
D.$\frac{x}{y}=\frac{3x}{3y}$
A.$\frac{x + 3}{y + 3}=\frac{x}{y}$
B.$\frac{x}{y}=\frac{x^{2}}{y^{2}}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{x - 2}{y - 2}$
D.$\frac{x}{y}=\frac{3x}{3y}$
答案
D
解析
分式的基本性质是分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
选项A中$\frac{x + 3}{y + 3}$分子分母不是同乘（或除以）同一个不为零的整式，所以A错误；
选项B中$\frac{x}{y}$分子分母同乘的不是同一个整式（$x$和$y$不一定相等），所以B错误；
选项C中$\frac{x}{y}$分子分母同减的不是同一个整式，所以C错误；
选项D中$\frac{x}{y}$分子分母都乘以$3$，根据分式基本性质，$\frac{x}{y}=\frac{3x}{3y}$，所以D正确。
选项A中$\frac{x + 3}{y + 3}$分子分母不是同乘（或除以）同一个不为零的整式，所以A错误；
选项B中$\frac{x}{y}$分子分母同乘的不是同一个整式（$x$和$y$不一定相等），所以B错误；
选项C中$\frac{x}{y}$分子分母同减的不是同一个整式，所以C错误；
选项D中$\frac{x}{y}$分子分母都乘以$3$，根据分式基本性质，$\frac{x}{y}=\frac{3x}{3y}$，所以D正确。
2. 如果把分式$\frac{2x}{x + y}$中的$x$和$y$都扩大到原来的2倍，那么分式的值()。
A.不变
B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
A.不变
B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
将x和y都扩大到原来的2倍，新分式为$\frac{2×2x}{2x + 2y}=\frac{4x}{2(x + y)}=\frac{2x}{x + y}$，与原分式相等，值不变。
3. 在括号里填上适当的整式：
(1)$\frac{y + 2}{y^{2} - 4}=\frac{1}{( )}$；
(2)$\frac{3x^{2} - 3xy}{xy - y^{2}}=\frac{3x}{( )}$；
(3)$\frac{x}{x^{2} - 2x}=\frac{( )}{x - 2}$。
(1)$\frac{y + 2}{y^{2} - 4}=\frac{1}{( )}$；
(2)$\frac{3x^{2} - 3xy}{xy - y^{2}}=\frac{3x}{( )}$；
(3)$\frac{x}{x^{2} - 2x}=\frac{( )}{x - 2}$。
答案
(1)$y - 2$
(2)$y$
(3)$1$
(2)$y$
(3)$1$
解析
(1) 根据分式的基本性质，分子由$y + 2$变为$1$，即分子除以$y + 2$，则分母也应除以$y + 2$。
原分母$y^2 - 4 = (y + 2)(y - 2)$，除以$y + 2$后得到$y - 2$。
所以括号内应填$y - 2$。
(2) 分子$3x^2 - 3xy = 3x(x - y)$，分母$xy - y^2 = y(x - y)$。
分子分母都除以$x - y$，得到$\frac{3x}{y}$。
所以括号内应填$y$。
(3) 分母$x^2 - 2x = x(x - 2)$，分子分母都除以$x$，分子变为$1$，但题目要求分子使等式成立，原分子为$x$，除以$x$后为$1$，题目要求填的分子应使$\frac{?}{x - 2}$与原式相等，所以分子应为$1$的等价形式，由于只是进行了除以$x$的操作，这里直接得结果为$1$。
（根据题意解析应简洁，这里对第三小题补充清晰解析：原式$\frac{x}{x(x - 2)}$，要得到$\frac{?}{x - 2}$，显然$?$处应为$1$，因为$\frac{x}{x(x - 2)}=\frac{1}{x - 2}$）
所以括号内应填$1$。
原分母$y^2 - 4 = (y + 2)(y - 2)$，除以$y + 2$后得到$y - 2$。
所以括号内应填$y - 2$。
(2) 分子$3x^2 - 3xy = 3x(x - y)$，分母$xy - y^2 = y(x - y)$。
分子分母都除以$x - y$，得到$\frac{3x}{y}$。
所以括号内应填$y$。
(3) 分母$x^2 - 2x = x(x - 2)$，分子分母都除以$x$，分子变为$1$，但题目要求分子使等式成立，原分子为$x$，除以$x$后为$1$，题目要求填的分子应使$\frac{?}{x - 2}$与原式相等，所以分子应为$1$的等价形式，由于只是进行了除以$x$的操作，这里直接得结果为$1$。
（根据题意解析应简洁，这里对第三小题补充清晰解析：原式$\frac{x}{x(x - 2)}$，要得到$\frac{?}{x - 2}$，显然$?$处应为$1$，因为$\frac{x}{x(x - 2)}=\frac{1}{x - 2}$）
所以括号内应填$1$。
4. 下列各式从左到右的变形中，不正确的是()。
A.$\frac{3}{-2m}=-\frac{3}{2m}$
B.$\frac{-n}{-5m}=\frac{n}{5m}$
C.$-\frac{3m}{-7n}=-\frac{3m}{7n}$
D.$\frac{3m}{-4n}=-\frac{3m}{4n}$
A.$\frac{3}{-2m}=-\frac{3}{2m}$
B.$\frac{-n}{-5m}=\frac{n}{5m}$
C.$-\frac{3m}{-7n}=-\frac{3m}{7n}$
D.$\frac{3m}{-4n}=-\frac{3m}{4n}$
答案
C
解析
根据分式的基本性质，分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
选项A：$\frac{3}{-2m}=-\frac{3}{2m}$，改变分母和分式本身的符号，正确。
选项B：$\frac{-n}{-5m}=\frac{n}{5m}$，改变分子和分母的符号，正确。
选项C：$-\frac{3m}{-7n}=\frac{3m}{7n}$，原变形错误。
选项D：$\frac{3m}{-4n}=-\frac{3m}{4n}$，改变分母和分式本身的符号，正确。
选项A：$\frac{3}{-2m}=-\frac{3}{2m}$，改变分母和分式本身的符号，正确。
选项B：$\frac{-n}{-5m}=\frac{n}{5m}$，改变分子和分母的符号，正确。
选项C：$-\frac{3m}{-7n}=\frac{3m}{7n}$，原变形错误。
选项D：$\frac{3m}{-4n}=-\frac{3m}{4n}$，改变分母和分式本身的符号，正确。
5. 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数。
(1)$\frac{4 - 3x^{2}}{-5 - 2x}$；(2)$-\frac{2 + 3x - x^{2}}{x^{2} - 1}$。
(1)$\frac{4 - 3x^{2}}{-5 - 2x}$；(2)$-\frac{2 + 3x - x^{2}}{x^{2} - 1}$。
答案
(1)
原式 $\frac{4 - 3x^{2}}{-5 - 2x}$
分子分母同时乘以$-1$，得到：
$\frac{-(4 - 3x^{2})}{-(-5 - 2x)} = \frac{3x^{2} - 4}{2x + 5}$
(2)
原式 $-\frac{2 + 3x - x^{2}}{x^{2} - 1}$
首先，将负号分配到分子内部，得到：
$\frac{- (2 + 3x - x^{2})}{x^{2} - 1} = \frac{x^{2} - 3x - 2}{x^{2} - 1}$
原式 $\frac{4 - 3x^{2}}{-5 - 2x}$
分子分母同时乘以$-1$，得到：
$\frac{-(4 - 3x^{2})}{-(-5 - 2x)} = \frac{3x^{2} - 4}{2x + 5}$
(2)
原式 $-\frac{2 + 3x - x^{2}}{x^{2} - 1}$
首先，将负号分配到分子内部，得到：
$\frac{- (2 + 3x - x^{2})}{x^{2} - 1} = \frac{x^{2} - 3x - 2}{x^{2} - 1}$
