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1. 一个缺角的三角形 $ABC$ 残片如图所示,量得 $\angle A = 65^{\circ}$,$\angle B = 70^{\circ}$,则这个三角形残缺前的 $\angle C$ 的度数为(
A.$75^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
C
)A.$75^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
答案
C
解析
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle A = 65^{\circ}$，$\angle B = 70^{\circ}$，所以$\angle C=180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-65^{\circ}-70^{\circ}=45^{\circ}$。
C
C
2. 在 $\triangle ABC$ 中,若 $\angle B= \angle C = 2\angle A$,则 $\angle A$ 的度数为(
A.$72^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
C
)A.$72^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案
C
解析
设$\angle A = x$，则$\angle B = \angle C = 2x$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + 2x + 2x = 180^{\circ}$，
$5x = 180^{\circ}$，
$x = 36^{\circ}$，即$\angle A = 36^{\circ}$。
C
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + 2x + 2x = 180^{\circ}$，
$5x = 180^{\circ}$，
$x = 36^{\circ}$，即$\angle A = 36^{\circ}$。
C
3. 如图,这是 $A$,$B$,$C$ 三个村庄的平面图,已知 $B$ 村在 $A$ 村的南偏西 $65^{\circ}15'$ 方向,$C$ 村在 $A$ 村的南偏东 $15^{\circ}$ 方向,$C$ 村在 $B$ 村的北偏东 $85^{\circ}$ 方向,求从 $C$ 村观测 $A$,$B$ 两村的视角 $\angle ACB$ 的度数。
答案
解:由题意∠BAC=65°15′+15°=80°15′,∠ABC=85°−65°15′=19°45′.在△ABC中,∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−80°15′−19°45′=80°.
解析
解:由题意得，$\angle BAC = 65° 15' + 15° = 80° 15'$，$\angle ABC = 85° - 65° 15' = 19° 45'$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 80° 15' - 19° 45' = 80°$。
答：$\angle ACB$的度数为$80°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 80° 15' - 19° 45' = 80°$。
答：$\angle ACB$的度数为$80°$。
题型1 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle ABC$,$\angle ACB$ 的平分线交于点 $O$,则 $\angle BOC$ 的度数是(
A. $65^{\circ}$ B. $115^{\circ}$ C. $80^{\circ}$ D. $50^{\circ}$
变式演练 在题型1中,若 $\angle A= \alpha$,则 $\angle BOC= $
B
)A. $65^{\circ}$ B. $115^{\circ}$ C. $80^{\circ}$ D. $50^{\circ}$
变式演练 在题型1中,若 $\angle A= \alpha$,则 $\angle BOC= $
$90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$
(用含 $\alpha$ 的式子表示)。答案
题型1 B 变式演练 90°+$\frac{1}{2}$α
题型2 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A-\angle B = 30^{\circ}$,$\angle C = 4\angle B$。求 $\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 的度数。
方法归纳交流 当已知三角形三个内角之间的数量关系时,可由三角形内角和定理用 的方法求出各角的度数。
方法归纳交流 当已知三角形三个内角之间的数量关系时,可由三角形内角和定理用 的方法求出各角的度数。
答案
题型2 解:设∠B=x°,则∠A=(30+x)°,∠C =4x°.由三角形内角和定理得30+x+x+4x=180,求得x=25,
∴∠A=55°,∠B=25°,∠C =100°
∴∠A=55°,∠B=25°,∠C =100°
题型3 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B+\angle C = 100^{\circ}$,$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$,$DE// AB$ 交 $AC$ 于点 $E$,则 $\angle ADE$ 的大小是( )
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
题型3 B
1. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$DE\perp AC$。若 $\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 60^{\circ}$,则 $\angle ADE$ 的度数为( )
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
C
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle B=40°$，$\angle C=60°$，根据三角形内角和定理，$\angle BAC=180°-\angle B-\angle C=180°-40°-60°=80°$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
由于$DE\perp AC$，则$\angle AED=90°$。在$\triangle ADE$中，$\angle ADE=180°-\angle AED-\angle CAD=180°-90°-40°=50°$。
C
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
由于$DE\perp AC$，则$\angle AED=90°$。在$\triangle ADE$中，$\angle ADE=180°-\angle AED-\angle CAD=180°-90°-40°=50°$。
C
2. 若三角形三个内角度数的比为 $1:2:3$,则这个三角形的最小角的度数是 。
答案
30°
解析
设三角形三个内角的度数分别为$x$，$2x$，$3x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
$6x = 180°$，
$x = 30°$。
30°
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
$6x = 180°$，
$x = 30°$。
30°
3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 100^{\circ}$,$AD\perp BC$ 于点 $D$,$AE$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$。若 $\angle C = 26^{\circ}$,则 $\angle DAE$ 的度数为 。
答案
14°
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=100°$，$\angle C=26°$，
$\angle B=180°-\angle BAC-\angle C=180°-100°-26°=54°$。
$AD\perp BC$，则$\angle ADB=90°$，
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180°-\angle ADB-\angle B=180°-90°-54°=36°$。
$AE$平分$\angle BAC$，$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD=50°-36°=14°$。
答案：$14°$
$\angle B=180°-\angle BAC-\angle C=180°-100°-26°=54°$。
$AD\perp BC$，则$\angle ADB=90°$，
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180°-\angle ADB-\angle B=180°-90°-54°=36°$。
$AE$平分$\angle BAC$，$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD=50°-36°=14°$。
答案：$14°$
4. 如图,已知 $D$ 为 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 延长线上的一点,$DF\perp AB$ 于点 $F$,交 $AC$ 于点 $E$,若 $\angle A = 35^{\circ}$,$\angle D = 42^{\circ}$,则 $\angle ACD$ 的度数为 。
答案
83°
解析
在$\triangle AFE$中，$\angle AFE=90^{\circ}$，$\angle A=35^{\circ}$，所以$\angle AEF=180^{\circ}-\angle AFE-\angle A=180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
因为$\angle AEF$与$\angle CED$是对顶角，所以$\angle CED=\angle AEF=55^{\circ}$。
在$\triangle CED$中，$\angle CED=55^{\circ}$，$\angle D=42^{\circ}$，所以$\angle ACD=180^{\circ}-\angle CED-\angle D=180^{\circ}-55^{\circ}-42^{\circ}=83^{\circ}$。
$83^{\circ}$
因为$\angle AEF$与$\angle CED$是对顶角，所以$\angle CED=\angle AEF=55^{\circ}$。
在$\triangle CED$中，$\angle CED=55^{\circ}$，$\angle D=42^{\circ}$，所以$\angle ACD=180^{\circ}-\angle CED-\angle D=180^{\circ}-55^{\circ}-42^{\circ}=83^{\circ}$。
$83^{\circ}$
5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$BE$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AD$ 于点 $E$。若 $\angle C = 75^{\circ}$,$\angle BED = 65^{\circ}$,求 $\angle BAC$ 的度数。
答案
解:
∵AD是BC边上的高，
∴∠BDE=90°.在△BDE中,∠BED=65°,∠BDE=90°,
∴∠DBE=180°−∠BED−∠BDE=180°−65°−90°=25°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBE=2×25°=50°.在△ABC中，∠ABC=50°,∠C=75°,
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−50°−75°=55°.
∵AD是BC边上的高，
∴∠BDE=90°.在△BDE中,∠BED=65°,∠BDE=90°,
∴∠DBE=180°−∠BED−∠BDE=180°−65°−90°=25°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBE=2×25°=50°.在△ABC中，∠ABC=50°,∠C=75°,
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−50°−75°=55°.
1. 能利用如图所示的作法,过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线,证明三角形内角和是 $180^{\circ}$ 的原理是( )
A.两直线平行,同旁内角互补
B.两直线平行,内错角相等
C.内错角相等,两直线平行
D.两直线平行,同位角相等
A.两直线平行,同旁内角互补
B.两直线平行,内错角相等
C.内错角相等,两直线平行
D.两直线平行,同位角相等
答案
B
2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B$ 的度数是( )
A.$20^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A.$20^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
C
