1. 用公式法解方程$x^{2}+2x= 3$时,求根公式中的a,b,c的值分别是 ()
A.1,2,3
B.1,-2,3
C.1,2,-3
D.1,-2,-3

C

将方程化为一般形式：$x^{2}+2x - 3=0$，则$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
C

2. 若$a-b= 3$,则下列x的值一定是关于x的方程$ax^{2}+2bx-12= 0$的根的是 ()
A.$x= 2$
B.$x= 0$
C.$x= 1$
D.$x= -2$

D

将选项中的x值代入方程$ax^{2}+2bx - 12 = 0$，结合$a - b = 3$（即$a = b + 3$）验证：
当$x = 2$时，方程左边$=a×2^{2}+2b×2 - 12=4a + 4b - 12$，将$a = b + 3$代入得$4(b + 3)+4b - 12=8b$，不一定为0；
当$x = 0$时，方程左边$=a×0^{2}+2b×0 - 12=-12\neq0$；
当$x = 1$时，方程左边$=a×1^{2}+2b×1 - 12=a + 2b - 12$，将$a = b + 3$代入得$(b + 3)+2b - 12=3b - 9$，不一定为0；
当$x=-2$时，方程左边$=a×(-2)^{2}+2b×(-2)-12=4a - 4b - 12=4(a - b)-12$，因为$a - b = 3$，所以$4×3 - 12=0$，方程成立。
D

3. 若两个连续奇数的积是255,则这两个数的和是 ()
A.31
B.32
C.$\pm 32$
D.$\pm 31$

C

设较小的连续奇数为$x$，则较大的为$x + 2$。
依题意得：$x(x + 2) = 255$
整理得：$x^2 + 2x - 255 = 0$
因式分解得：$(x + 17)(x - 15) = 0$
解得：$x_1 = -17$，$x_2 = 15$
当$x = -17$时，两数为$-17$，$-15$，和为$-17 + (-15) = -32$
当$x = 15$时，两数为$15$，$17$，和为$15 + 17 = 32$
故这两个数的和是$\pm 32$
C

4. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为$a☆b= a^{2}+b^{2}$,$a★b= \frac{ab}{2}$,则方程$2☆x= x★8$的解为______.

2

由题意得，$2☆x=2^{2}+x^{2}=4+x^{2}$，$x★8=\frac{x×8}{2}=4x$。
因为$2☆x=x★8$，所以$4+x^{2}=4x$，即$x^{2}-4x+4=0$，$(x-2)^{2}=0$，解得$x=2$。
2

5. 把方程$(2x-1)(x+3)= x^{2}+1化成ax^{2}+bx+c= 0$的形式,那么$b^{2}-4ac$的值为,方程的根是.

41；$\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$

$(2x-1)(x+3)=x^{2}+1$
$2x^{2}+6x - x - 3 = x^{2}+1$
$2x^{2}+5x - 3 - x^{2} - 1 = 0$
$x^{2}+5x - 4 = 0$
$a=1$，$b=5$，$c=-4$
$b^{2}-4ac=5^{2}-4×1×(-4)=25 + 16=41$
$x=\frac{-5\pm\sqrt{41}}{2×1}=\frac{-5\pm\sqrt{41}}{2}$
41；$\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$

6. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-3x-5= 0$；
(2)$3x^{2}+5x+1= 0$；
(3)$2x^{2}+4x-3= 0$；
(4)$2x^{2}-3x-1= 0$；
(5)$x^{2}-5x+3= 0$；
(6)$4x^{2}-3= 12x$.

(1) $x^{2}-3x-5= 0$
$a=1$, $b=-3$, $c=-5$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-3)^2 - 4×1×(-5)=9 + 20=29＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$, $x_2=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$
(2) $3x^{2}+5x+1= 0$
$a=3$, $b=5$, $c=1$
$\Delta =5^2 - 4×3×1=25 - 12=13＞0$
$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
$\therefore x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{6}$, $x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$
(3) $2x^{2}+4x-3= 0$
$a=2$, $b=4$, $c=-3$
$\Delta =4^2 - 4×2×(-3)=16 + 24=40＞0$
$x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$, $x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(4) $2x^{2}-3x-1= 0$
$a=2$, $b=-3$, $c=-1$
$\Delta =(-3)^2 - 4×2×(-1)=9 + 8=17＞0$
$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$, $x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(5) $x^{2}-5x+3= 0$
$a=1$, $b=-5$, $c=3$
$\Delta =(-5)^2 - 4×1×3=25 - 12=13＞0$
$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$, $x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
(6) $4x^{2}-3= 12x$
整理得：$4x^2 - 12x - 3=0$
$a=4$, $b=-12$, $c=-3$
$\Delta =(-12)^2 - 4×4×(-3)=144 + 48=192＞0$
$x=\frac{12\pm\sqrt{192}}{2×4}=\frac{12\pm8\sqrt{3}}{8}=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$, $x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{2}$

7. 已知三角形的两条边长分别是$\sqrt{3}和2\sqrt{3}$,第三条边的长是$x^{2}-6x+6= 0$的根,求这个三角形的周长.

这个三角形的周长为$3 + 4\sqrt{3}$。

解方程$x^{2}-6x+6=0$，判别式$\Delta=(-6)^{2}-4×1×6=36 - 24=12$，根为$x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{2}=3\pm\sqrt{3}$。
设三角形第三边长为$x$，已知两边长为$\sqrt{3}$和$2\sqrt{3}$，则第三边的取值范围是$2\sqrt{3}-\sqrt{3}＜x＜2\sqrt{3}+\sqrt{3}$，即$\sqrt{3}＜x＜3\sqrt{3}$。
当$x=3+\sqrt{3}$时，$\sqrt{3}＜3+\sqrt{3}＜3\sqrt{3}$（因为$3\sqrt{3}\approx5.196$，$3+\sqrt{3}\approx4.732$），符合题意；当$x=3-\sqrt{3}\approx3 - 1.732=1.268$，而$\sqrt{3}\approx1.732$，$1.268＜1.732$，不符合题意，舍去。
所以三角形的周长为$\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3+\sqrt{3}=3 + 4\sqrt{3}$。
这个三角形的周长为$3 + 4\sqrt{3}$。