例1 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C = ∠ABC = 2∠A$,$BD是AC$边上的高.求$∠DBC$的度数.

设$\angle A = x$，
$\because \angle C = \angle ABC = 2\angle A$，
$\therefore \angle C = \angle ABC = 2x$。
$\because \triangle ABC$内角和为$180^{\circ}$，
$\therefore x + 2x + 2x = 180^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$。
$\therefore \angle A = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$。
$\because BD$是$AC$边上的高，
$\therefore \angle BDC = 90^{\circ}$。
$\because$在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 18^{\circ}$。
综上，$\angle DBC$的度数为$18^{\circ}$。

变式训练 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是∠BAC$的平分线,$∠B = 66^{\circ}$,$∠C = 54^{\circ}$.
(1)求$∠ADB和∠ADC$的度数;
(2)若$DE⊥AC于点E$,求$∠ADE$的度数.

(1) 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-66°-30°=84°。
∠ADC=180°-∠ADB=180°-84°=96°。
(2) ∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。
在△ADE中，∠ADE=90°-∠CAD=90°-30°=60°。

例2 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$D是AB$边上一点,且$∠ACD = ∠B$.求证:$\triangle BCD$是直角三角形.

名师导引 要证明$\triangle BCD$是直角三角形,可以证明$∠BDC = 90^{\circ}$.本题由$∠ACB = 90^{\circ}和∠ACD = ∠B$,可得$∠B + ∠BCD = 90^{\circ}$,再由三角形内角和等于$180^{\circ}$,可得$∠BDC = 90^{\circ}$.
变式训练 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的高,$E是AB$边上一点,$CE交AD于点M$,且$∠DCM = ∠MAE$.求证:$\triangle AEM$是直角三角形.

证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCM+∠CMD=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠CMD=∠AME（对顶角相等），∠DCM=∠MAE（已知），
∴∠MAE+∠AME=90°。
在△AEM中，∠AEM=180°-（∠MAE+∠AME）=180°-90°=90°，
∴△AEM是直角三角形。

证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCM+∠CMD=90°．
∵∠CMD=∠AME（对顶角相等），∠DCM=∠MAE（已知），
∴∠MAE+∠AME=90°．
在△AEM中，∠MAE+∠AME+∠AEM=180°，
∴∠AEM=180°-(∠MAE+∠AME)=180°-90°=90°．
∴△AEM是直角三角形．

1. 具备下列条件的$\triangle ABC$,不是直角三角形的是()
A.$∠A = 60^{\circ}$,$∠B = 30^{\circ}$
B.$∠A + ∠B = ∠C$
C.$∠A = 90^{\circ} - ∠C$
D.$∠A: ∠B: ∠C = 3:4:5$

D

A. 对于选项A，已知$∠A = 60^{\circ}$，$∠B = 30^{\circ}$，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可以计算出$∠C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$。
因此，$\triangle ABC$是直角三角形，不符合题意。
B. 对于选项B，已知$∠A + ∠B = ∠C$，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
有$∠A + ∠B + ∠C = 180^{\circ}$。
将$∠A + ∠B = ∠C$代入，
得到$2∠C = 180^{\circ}$，
解得$∠C = 90^{\circ}$。
因此，$\triangle ABC$是直角三角形，不符合题意。
C. 对于选项C，已知$∠A = 90^{\circ} - ∠C$，
移项得$∠A + ∠C = 90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
有$∠A + ∠B + ∠C = 180^{\circ}$。
将$∠A + ∠C = 90^{\circ}$代入上式，
可得$∠B = 90^{\circ}$。
因此，$\triangle ABC$是直角三角形，不符合题意。
D. 对于选项D，已知$∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5$，
设$∠A = 3x$，$∠B = 4x$，$∠C = 5x$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
有$3x + 4x + 5x = 180^{\circ}$，
解得$x = 15^{\circ}$。
因此，$∠A = 45^{\circ}$，$∠B = 60^{\circ}$，$∠C = 75^{\circ}$，
这三个角都不是$90^{\circ}$。
所以，$\triangle ABC$不是直角三角形，符合题意。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$∠CDA = 90^{\circ}$,则与$∠B$互为余角的角有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

A

在△ABC中，∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°，故∠C与∠B互余；在△ABD中，∠CDA=90°即∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，故∠BAD与∠B互余；又∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，且∠C+∠CAD=90°，可得∠BAD=∠C，所以与∠B互余的角为∠C和∠BAD，共2个。