例 2 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线, $ BE \perp AC $ 于点 $ E $. 求证: $ \angle CBE = \frac{1}{2} \angle BAC $.

证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠CAD=1/2∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠CAD（同角的余角相等），
∴∠CBE=1/2∠BAC．

变式训练 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ EF $ 是 $ AB $ 边的垂直平分线, $ AD \perp BC $ 于点 $ D $,且 $ D $ 为 $ CE $ 的中点.
(1) 求证: $ BE = AC $;
(2) 若 $ \angle C = 70^{\circ} $,求 $ \angle BAC $ 的度数.

(1) 见解析；(2) 75°

(1) 证明：
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵AD⊥BC，D为CE中点，
∴∠ADC=∠ADE=90°，CD=DE。
在△ADC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=DE \\ ∠ADC=∠ADE \\ AD=AD \end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴AC=AE，
∴BE=AC。
(2) 解：
∵△ADC≌△ADE，∠C=70°，
∴∠AED=∠C=70°。
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA。
∵∠AED是△AEB的外角，
∴∠AED=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴2∠EAB=70°，∠EAB=35°。
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°，
∵△ADC≌△ADE，
∴∠DAE=∠DAC=20°，
∴∠EAC=∠DAE+∠DAC=40°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=35°+40°=75°。

1. 如图,等腰 $ \triangle ABC $ 的顶角 $ \angle A $ 为 $ 40 $ 度,则它的底角 $ \angle B $ 为()

A.$ 70 $ 度
B.$ 60 $ 度
C.$ 50 $ 度
D.$ 40 $ 度

A

在等腰△ABC中，AB=AC（或AB=BC或AC=BC，根据等腰三角形定义，两腰相等，顶角为∠A，故腰为AB和AC），所以底角为∠B和∠C。因为三角形内角和为180°，顶角∠A=40°，所以∠B=∠C=(180°-40°)/2=70°。

2. 如图 1 是两位同学玩跷跷板的场景,图 2 是跷跷板示意图,支柱 $ OC $ 与地面垂直,点 $ O $ 是 $ AB $ 的中点, $ AB $ 绕着点 $ O $ 上下转动. 若 $ A $ 端落地时, $ \angle OAC = 20^{\circ} $,则跷跷板上下可转动的最大角度(即 $ \angle A'OA $)是()

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 50^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $

C

∵O是AB中点，∴OA=OB。当A端落地时，OC⊥地面，∠OAC=20°，在Rt△OAC中，∠OCA=90°，∴∠AOC=90°-20°=70°。当B端落地时，同理可得∠B'OC=70°。∵OC为铅垂线，OA与OA'分别在OC两侧，且∠AOC=∠A'OC=70°，∴∠A'OA=180°-70°-70°=40°。

3. 将一台带有保护套的平板电脑按图 1 的方式放置在水平桌面上,其侧面示意图如图 2 所示. 经测量 $ AB = 10\,cm $, $ BC = 12\,cm $,若移动支点 $ A $ 的位置,使 $ \triangle ABC $ 是一个等腰三角形,则 $ \triangle ABC $ 的周长为.

32cm或34cm

分两种情况讨论：
1. 当 $ AC = AB $ 时，$ AC = AB = 10\,cm $，三边为 $ 10\,cm, 10\,cm, 12\,cm $，周长为 $ 10 + 10 + 12 = 32\,cm $；
2. 当 $ AC = BC $ 时，$ AC = BC = 12\,cm $，三边为 $ 10\,cm, 12\,cm, 12\,cm $，周长为 $ 10 + 12 + 12 = 34\,cm $。

4. 等腰三角形在力学中也有应用. 如图,已知梁架 $ AG $ 与架底 $ AH $ 形成 $ 16^{\circ} $ 的夹角,为了分解 $ AG $ 的受力,现将长度相等的钢条焊接在上面,即 $ BC = CD = DE = EF $,又知 $ AB = BC $,这样可以使得梁架 $ AG $ 不易变形. 根据以上条件求得 $ \angle GEF = $$^{\circ} $.

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∵∠GAH=16°，AB=BC，∴△ABC中∠BAC=∠BCA=16°（等边对等角），外角∠CBD=∠BAC+∠BCA=32°（三角形外角性质）。
∵BC=CD，∴△BCD中∠CDB=∠CBD=32°（等边对等角），外角∠DCE=∠CDB+∠CBD=64°（三角形外角性质）。
∵CD=DE，∴△CDE中∠DEC=∠DCE=64°（等边对等角），外角∠EDF=∠DEC+∠DCE=128°（三角形外角性质）。
∵DE=EF，∴△DEF中∠EDF=∠EFD，∠DEF=180°-2∠EDF=180°-2×(180°-128°)=52°，∴∠GEF=∠DEF=52°。

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 是 $ BC $ 边的中点,连接 $ AD $,点 $ E $ 是 $ BC $ 延长线上一点, $ CF $ 平分 $ \angle ACE $,连接 $ AF $,且 $ AF = AC $.
(1) 若 $ \angle CAD = 31^{\circ} $,求 $ \angle B $ 的度数;
(2) 求证: $ AF // BE $.

(1) ∵AB=AC，D是BC中点，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵∠CAD=31°，∴∠BAC=2∠CAD=62°。
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠B=(180°-∠BAC)/2=(180°-62°)/2=59°。
(2) ∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ECF。
∵AF=AC，∴∠ACF=∠AFC（等边对等角）。
∴∠AFC=∠ECF。
∴AF//BE（内错角相等，两直线平行）。