8. 实数a,b,c在数轴上所对应的点的位置如图,则下列式子中正确的是()

A.a-c＞b-c
B.a+c＜b+c
C.ac＞bc
D.$\frac{a}{b}＜\frac{c}{b}$
]

B

由数轴可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$。
A. 因为$a ＜ b$，两边同时减$c$，不等号方向不变，所以$a - c ＜ b - c$，A错误。
B. 因为$a ＜ b$，两边同时加$c$，不等号方向不变，所以$a + c ＜ b + c$，B正确。
C. 因为$a ＜ b$，$c ＞ 0$，两边同时乘$c$，不等号方向不变，所以$ac ＜ bc$，C错误。
D. 因为$a ＜ c$，$b ＜ 0$，两边同时除以$b$，不等号方向改变，所以$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{b}$，D错误。
B

9. 5名学生身高两两不同,把他们按从高到低排列,设前三名的平均身高为a米,后两名的平均身高为b米。前两名的平均身高为c米,后三名的平均身高为d米,则()
A.$\frac{a+b}{2}＞\frac{c+d}{2}$
B.$\frac{c+d}{2}＞\frac{a+b}{2}$
C.$\frac{c+d}{2}= \frac{a+b}{2}$
D.以上都不对

B

设5名学生身高从高到低为$h_1,h_2,h_3,h_4,h_5$，且$h_1＞h_2＞h_3＞h_4＞h_5$。
由题意得：
$a=\frac{h_1+h_2+h_3}{3}$，$b=\frac{h_4+h_5}{2}$，$c=\frac{h_1+h_2}{2}$，$d=\frac{h_3+h_4+h_5}{3}$。
计算$\frac{a+b}{2}-\frac{c+d}{2}=\frac{(a+b)-(c+d)}{2}$。
$a+b=\frac{h_1+h_2+h_3}{3}+\frac{h_4+h_5}{2}$，$c+d=\frac{h_1+h_2}{2}+\frac{h_3+h_4+h_5}{3}$。
$(a+b)-(c+d)=\frac{h_1+h_2+h_3}{3}+\frac{h_4+h_5}{2}-\frac{h_1+h_2}{2}-\frac{h_3+h_4+h_5}{3}$
$=\frac{h_1+h_2+h_3 - h_3 - h_4 - h_5}{3}+\frac{h_4 + h_5 - h_1 - h_2}{2}$
$=\frac{(h_1 + h_2)-(h_4 + h_5)}{3}-\frac{(h_1 + h_2)-(h_4 + h_5)}{2}$
$=-\frac{(h_1 + h_2)-(h_4 + h_5)}{6}$。
因为$h_1＞h_2＞h_3＞h_4＞h_5$，所以$h_1 + h_2 ＞ h_4 + h_5$，则$-\frac{(h_1 + h_2)-(h_4 + h_5)}{6}＜0$，即$\frac{a+b}{2}-\frac{c+d}{2}＜0$。
所以$\frac{c+d}{2}＞\frac{a+b}{2}$。
B

10. 给出下列四个判断：①若$ac^2＞bc^2$,则a＞b。②若a＞b,则a|c|＞b|c|。③若a＞b,则$\frac{b}{a}＜1$。④若a＞0,则b-a＜b。其中正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

①若$ac^2＞bc^2$，因为$c^2＞0$，所以$a＞b$，正确；
②若$a＞b$，当$c=0$时，$a|c|=b|c|=0$，错误；
③若$a＞b$，当$a＜0$时，$\frac{b}{a}＞1$，错误；
④若$a＞0$，则$-a＜0$，所以$b - a＜b$，正确。
正确的有2个。
B

11. 甲从商贩A处购买了若干斤西瓜,又从商贩B处购买了若干斤西瓜,A,B两处所购买的西瓜质量之比为3∶2,然后将买回的西瓜以从A,B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙,结果发现他赔钱了,这是因为()
A.商贩A的单价大于商贩B的单价
B.商贩A的单价等于商贩B的单价
C.商贩A的单价小于商贩B的单价
D.赔钱与商贩A、商贩B的单价无关

A

设从A处购买西瓜质量为$3m$斤，单价为$a$元/斤；从B处购买西瓜质量为$2m$斤，单价为$b$元/斤。
总成本：$3m \cdot a + 2m \cdot b = 3ma + 2mb$
总售价：$(3m + 2m) \cdot \frac{a + b}{2} = 5m \cdot \frac{a + b}{2} = \frac{5m(a + b)}{2}$
赔钱则总成本大于总售价：$3ma + 2mb ＞ \frac{5m(a + b)}{2}$
两边同除以$m$（$m ＞ 0$）：$3a + 2b ＞ \frac{5(a + b)}{2}$
两边同乘2：$6a + 4b ＞ 5a + 5b$
化简得：$a ＞ b$
A

12. 已知x＞0,y＜0,且x+y＜0,那么x,y,-x,-y的大小关系为 。

y＜-x＜x＜-y

∵x＞0，y＜0，∴-x＜0，-y＞0。∵x+y＜0，∴|y|＞|x|（正数加负数为负，负数绝对值大）。∵|y|=-y，|x|=x，∴-y＞x（正数比较：|y|＞|x|即-y＞x）。∵|y|＞|x|，|-x|=x，∴|y|＞|-x|，则y＜-x（负数比较：绝对值大的反而小）。综上：y＜-x＜x＜-y。

13. (1)①如果a-b＜0,那么a b。
②如果a-b= 0,那么a b。
③如果a-b＞0,那么a b。
(2)用第(1)题中的方法你能否比较$3x^2-3x+7与4x^2-3x+7$的大小？如果能,请写出比较过程。

(1) ① ＜ ② = ③ ＞
(2) 能，比较过程如上。

(1)
① 由 $a - b ＜ 0$，移项得 $a ＜ b$。
② 由 $a - b = 0$，移项得 $a = b$。
③ 由 $a - b ＞ 0$，移项得 $a ＞ b$。
(2)
比较 $3x^2 - 3x + 7$ 与 $4x^2 - 3x + 7$ 的大小：
作差得
$(3x^2 - 3x + 7) - (4x^2 - 3x + 7) = -x^2.$
因为 $x^2 \geq 0$，所以 $-x^2 \leq 0$。
当 $x \neq 0$ 时，$-x^2 ＜ 0$，故 $3x^2 - 3x + 7 ＜ 4x^2 - 3x + 7$；
当 $x = 0$ 时，$-x^2 = 0$，故 $3x^2 - 3x + 7 = 4x^2 - 3x + 7$。

14. 已知a,b,c是三角形的三边长,求证：$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$。

证明：∵a,b,c是三角形的三边长，
∴b+c＞a（三角形两边之和大于第三边），
∴a-b-c＜0，且(b+c)(a+b+c)＞0（边长为正数，和与积为正）。
计算$\frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}$：
$\begin{aligned}\frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}&=\frac{a(a+b+c)-2a(b+c)}{(b+c)(a+b+c)}\\&=\frac{a^2+ab+ac-2ab-2ac}{(b+c)(a+b+c)}\\&=\frac{a(a-b-c)}{(b+c)(a+b+c)}\end{aligned}$
∵分子$a(a-b-c)＜0$，分母$(b+c)(a+b+c)＞0$，
∴$\frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}＜0$，即$\frac{a}{b+c}＜\frac{2a}{a+b+c}$。
同理可得：$\frac{b}{a+c}＜\frac{2b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b}＜\frac{2c}{a+b+c}$。
将三式相加：
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
即$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}＜2$。