8. (★)在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$AC = 8$,$BC = 10$;在$\triangle DEF$中,$\angle D = 90^{\circ}$,$DF = 4$. 要使$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,则$EF= $.

5或20/3

在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，因为6²+8²=10²，所以△ABC是直角三角形，∠A=90°，直角边为AB、AC，斜边为BC。△DEF中∠D=90°，故△DEF是直角三角形，直角边为DF、DE，斜边为EF，DF=4为直角边。
情况1：DF对应AB
相似比k=DF/AB=4/6=2/3，EF对应BC，EF=BC×k=10×(2/3)=20/3。
情况2：DF对应AC
相似比k=DF/AC=4/8=1/2，EF对应BC，EF=BC×k=10×(1/2)=5。
综上，EF=5或20/3。

9. (★)如图27.2 - 21,点$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$,$G$,$H$,$K都是6×8$方格纸中的格点,为使$\triangle DEM\backsim\triangle ABC$,则点$M应是F$,$G$,$H$,$K$四点中的【】

A.$F$
B.$G$
C.$H$
D.$K$

C

以方格边长为1建立坐标系，设A(0,3)，B(0,0)，C(4,3)，则△ABC为直角三角形，AB=3，AC=4，∠A=90°。设D(2,1)，E(6,1)，则DE=4（水平距离）。要使△DEM∽△ABC，需∠E=90°（对应∠A），DE对应AC=4，EM对应AB=3。E(6,1)向右3格（EM=3），则M(6,1+3)=(6,4)，该点为H。

10. (★)如图27.2 - 22,已知$AB:AD = BC:DE = AC:AE$,则下列说法正确的是【】

A.$\angle ABC= \angle AED$
B.$\angle ACB= \angle ADE$
C.$\angle BAD= \angle CAE$
D.$\angle ADB= \angle BAE$

C

由已知$AB:AD = BC:DE = AC:AE$，根据“三边成比例的两个三角形相似”，可得$\triangle ABC \sim \triangle ADE$。相似三角形对应角相等，故$\angle BAC = \angle DAE$。等式两边同时减去$\angle DAC$，得$\angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD = \angle CAE$。

11. (★)$\triangle ABC的三边长分别为\sqrt{2}$,$\sqrt{10}$,2,$\triangle DEF$的两边长分别为1和$\sqrt{5}$,如果$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,那么$\triangle DEF$的第三边长为【】
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

C

由题意知 $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，
根据相似三角形的性质，对应边长之间的比例相等，即：
$\frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{x}$,
计算已知的比例关系：
$\frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}, \quad \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$，
由此得出比例关系一致，即：
$\frac{2}{x} = \sqrt{2}$，
解这个方程得到：
$x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
所以，$\triangle DEF$ 的第三边长为 $\sqrt{2}$。

12. (★★)如图27.2 - 23,四边形$ABCD$、四边形$CDEF$、四边形$EFGH$都是正方形.
(1)$\triangle ACF与\triangle GCA$相似吗? 请说明你的理由.
(2)求$\angle 1+\angle 2$的度数.

(1) △ACF与△GCA相似。理由如下：设正方形边长为$a$，则$AC=\sqrt{2}a$，$CF=a$，$GC=2a$，$CA=\sqrt{2}a$。计算得$\frac{AC}{GC}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CF}{CA}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{GC}=\frac{CF}{CA}$。又$\angle ACF=\angle GCA=135°$，故两边对应成比例且夹角相等，所以△ACF∽△GCA。
(2) $45°$。

13. (★★)如图27.2 - 24,某地四个乡镇$A$,$B$,$C$,$D$之间建有公路,已知$AB = 14\mathrm{km}$,$AD = 28\mathrm{km}$,$BD = 21\mathrm{km}$,$BC = 42\mathrm{km}$,$DC = 31.5\mathrm{km}$. 公路$AB与DC$平行吗? 说明理由.

公路$AB$与$DC$平行。理由如下：
在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，
$\begin{aligned}\frac{AB}{BD}&=\frac{14}{21}=\frac{2}{3},\\frac{BD}{CD}&=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3},\\frac{AD}{BC}&=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}.\end{aligned}$
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BC}$，
$\therefore \triangle ABD\sim\triangle CDB$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore \angle ABD = \angle CDB$（相似三角形对应角相等），
$\therefore AB// DC$（内错角相等，两直线平行）。
结论：公路$AB$与$DC$平行。