24. (14分)【问题解决】
如图1,$\angle AOB = 120^{\circ}$,点$C$是$\angle AOB$平分线上一点,点$D$在射线$OA$上,将射线$CD$绕点$C$逆时针旋转$60^{\circ}$与$OB$交于点$E$.求证:
(1) $CD = CE$;
(2) $OD + OE = OC$.
【变式探究】
如图2,$\angle AOB = 90^{\circ}$,点$C$是$\angle AOB$平分线上一点,点$D$在射线$OA$上,将射线$CD$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$与$OB$交于点$E$.
此时线段$OD$,$OE$,$OC$之间的数量关系是.
【拓展提升】
如图3,在矩形$ABCD$中,$AB = 11$,$AD = 12$,$E$为$AD$中点,点$F$在$AB$上,且$AF = AE$,连接$CF$,作$EH\perp CF$于点$H$,连接$AH$,求线段$AH$的长度.

（1）证明$CD = CE$
解：
过点$C$作$CM\perp OA$于$M$，$CN\perp OB$于$N$。
因为$OC$平分$\angle AOB$，$\angle AOB = 120^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle BOC = 60^{\circ}$。
根据角平分线的性质，可得$CM = CN$。
$\angle MCN=\angle MCO+\angle NCO = 90^{\circ}+90^{\circ}-\angle AOB= 60^{\circ}$。
又因为$\angle DCE = 60^{\circ}$，所以$\angle MCD=\angle NCE$。
在$\triangle MCD$和$\triangle NCE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle CMD=\angle CNE = 90^{\circ}\\CM = CN\\\angle MCD=\angle NCE\end{array}\right.$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle MCD\cong\triangle NCE$，所以$CD = CE$。
（2）证明$OD + OE = OC$
解：
由（1）知$\triangle MCD\cong\triangle NCE$，所以$DM=EN$。
在$Rt\triangle COM$中，$\angle AOC = 60^{\circ}$，$\angle CMO = 90^{\circ}$，则$\angle OCM = 30^{\circ}$，设$OM=x$，根据$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半，可得$OC = 2x$，由勾股定理$CM=\sqrt{OC^{2}-OM^{2}}=\sqrt{3}x$。
$OD + OE=(OM - DM)+(ON + NE)$，因为$OM = ON=x$，$DM = EN$，所以$OD + OE=OM + ON=2x$，又因为$OC = 2x$，所以$OD + OE = OC$。
【变式探究】
解：
过点$C$作$CM\perp OA$于$M$，$CN\perp OB$于$N$。
因为$OC$平分$\angle AOB$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle BOC = 45^{\circ}$，则$CM = CN$，$\angle MCN = 90^{\circ}$。
又因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle MCD=\angle NCE$。
可证$\triangle MCD\cong\triangle NCE(ASA)$，$DM = EN$。
在$Rt\triangle COM$中，$\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle CMO = 90^{\circ}$，设$OM = ON = a$，则$CM=CN=a$，$OC=\sqrt{OM^{2}+CM^{2}}=\sqrt{2}a$。
$OD + OE=(OM - DM)+(ON + NE)=OM + ON=\sqrt{2}×\frac{OD + OE}{\sqrt{2}}$，$OC=\sqrt{2}a$，$OD + OE=\sqrt{2}OC$。
【拓展提升】
解：
连接$EF$，$EC$。
因为$E$为$AD$中点，$AD = 12$，所以$AE = DE=6$，又$AF = AE = 6$，$AB = 11$，则$FB=11 - 6 = 5$，$DC = 11$。
根据勾股定理，$EF=\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6\sqrt{2}$，$EC=\sqrt{DE^{2}+DC^{2}}=\sqrt{6^{2}+11^{2}}=\sqrt{157}$，$FC=\sqrt{FB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$。
因为$S_{\triangle EFC}=S_{\triangle AEF}+S_{梯形EFBC}-S_{\triangle ABC}$
$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}×6×6 = 18$，$S_{梯形EFBC}=\frac{1}{2}×(6 + 12)×5=45$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×11×12 = 66$，所以$S_{\triangle EFC}=18 + 45-66 = 6$。
又因为$S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2}× FC× EH$，$FC = 13$，所以$EH=\frac{12}{13}$。
因为$\angle EHF=\angle EAF = 90^{\circ}$，所以$A$，$F$，$H$，$E$四点共圆（四边形对角互补，四点共圆），$\angle AHE=\angle AFE = 45^{\circ}$，$\angle EHC=\angle EDC = 90^{\circ}$，所以$A$，$H$，$C$三点共线。
在$Rt\triangle AEH$中，$\angle AHE = 45^{\circ}$，$AE = 6$，根据勾股定理$AH=\sqrt{2}EH$，$S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2}× FC× EH = 6$，$FC = 13$，$EH=\frac{12}{13}$，$AH=\frac{12\sqrt{2}}{13}$。
综上，（1）（2）已证；【变式探究】答案为$\boldsymbol{OD + OE=\sqrt{2}OC}$；【拓展提升】$AH$的长度为$\boldsymbol{\frac{12\sqrt{2}}{13}}$。