23. (12分)【问题呈现】
如图$1$,$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形,连接$BD,CE$.求证:$BD=CE$.
【类比探究】
如图$2$,$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形,$\angle ABC=\angle ADE=90^{\circ}$,连接$BD,CE$.请直接写出$\frac{BD}{CE}$的值.
【拓展提升】
如图$3$,$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是直角三角形,$\angle ABC=\angle ADE=90^{\circ}$,且$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$,连接$BD,CE$.
(1) 求$\frac{BD}{CE}$的值;
(2) 延长$CE$交$BD$于点$F$,交$AB$于点$G$,求$\sin\angle BFC$的值.

【问题呈现】证明见解析；
【类比探究】$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
【拓展提升】（1）$\frac{3}{5}$；（2）1．

23.【问题呈现】
证明：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．
【类比探究】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【拓展提升】
（1）设AB=3k，BC=4k，AD=3m，DE=4m，
∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=5k$，AE=$\sqrt{AD^2+DE^2}=5m$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，$\frac{AD}{AE}=\frac{3m}{5m}=\frac{3}{5}$，
∵∠BAC=∠DAE（由tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$，tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}=\frac{4}{3}$得），
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE（两边成比例且夹角相等），
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$．
（2）由（1）知△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BGF=∠CGB（公共角），
∴△BGF∽△CGB，
∴∠BFC=∠ABC=90°，
∴sin∠BFC=sin90°=1．