7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 2$,将$\triangle ABC$绕点 $C$ 顺时针方向旋转 $60^{\circ}后得到\triangle EDC$,此时点 $D$ 在斜边 $AB$ 上,斜边 $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$,则图中阴影部分的面积为()

A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$

C

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$BC=2$，则$AB=2BC=4$，$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=2\sqrt{3}$，$\angle B=60^{\circ}$。
由旋转性质得：$CD=CB=2$，$\angle BCD=60^{\circ}$，故$\triangle BCD$为等边三角形，$BD=BC=2$，则$AD=AB-BD=2$。
$\angle ACD=\angle ACB-\angle BCD=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\triangle EDC$中，$\angle EDC=\angle B=60^{\circ}$，在$\triangle CDF$中，$\angle FCD=30^{\circ}$，$\angle CDF=60^{\circ}$，则$\angle CFD=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle CDF$中，$CD=2$，$CF=CD\cdot\cos30^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$DF=CD\cdot\sin30^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1$。
阴影部分面积$S_{\triangle DFC}=\frac{1}{2}× CF× DF=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

8. 从某校九年级学生中随机抽取若干名进行体能测试,成绩记为 1 分,2 分,3 分,4 分,5 分。将测量的结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图,根据图中提供的信息,这些学生分数的中位数是()

A.1
B.2
C.3
D.4

C

由条形统计图知1分有6人，结合扇形统计图1分占10%，得总人数为6÷10%=60人。2分占20%，人数为60×20%=12人。由条形图知3分15人，5分9人，故4分人数为60-6-12-15-9=18人。将分数按顺序排列，第30、31个数据均为3分，中位数是3。

9. 如图,将$\triangle ABC$绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}得到\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$,则点 $P$ 的坐标是()

A.$(1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(1,1)$
D.$(1,3)$

B

设旋转中心 $ P(a,b) $，取对应点 $ B(x,y) $ 和 $ B'(x',y') $。由旋转性质，向量 $ \overrightarrow{PB} $ 逆时针旋转 $ 90° $ 得 $ \overrightarrow{PB'} $，即 $ (x'-a,y'-b)=(-(y-b),x-a) $，可得方程组：
$ \begin{cases} a+b=x'+y \\ a-b=x-y' \end{cases} $
假设 $ B(3,1) $，$ B'(2,2) $，代入得：
$ \begin{cases} a+b=2+1=3 \\ a-b=3-2=1 \end{cases} $
解得 $ a=2 $，$ b=1 $，即 $ P(2,1) $。

10. 如图,已知$\triangle ABC$是边长为 1 的等边三角形,取 $BC$ 边的中点 $E$,作 $ED// AB$,$EF// AC$,得四边形 $EDAF$,它的周长记为 $C_{1}$；取 $BE$ 中点 $E_{1}$,作 $E_{1}D_{1}// FB$,$E_{1}F_{1}// EF$,得四边形 $E_{1}D_{1}FF_{1}$,它的周长记为 $C_{2}$。照此规律作下去,则 $C_{2022}$ 等于()

A.$(\frac{1}{2})^{2019}$
B.$(\frac{1}{2})^{2022}$
C.$\frac{1}{2^{2020}}$
D.$\frac{1}{2^{2021}}$

C

∵△ABC是边长为1的等边三角形，E为BC中点，ED//AB，EF//AC，
∴△CED和△BEF均为等边三角形，ED=EC=1/2，EF=BE=1/2，AF=BF=1/2，AD=CD=1/2，
∴四边形EDAF为菱形，边长均为1/2，周长C₁=4×1/2=2。
取BE中点E₁，BE=1/2，故BE₁=1/4，同理可得△BE₁F₁和△E₁ED₁为等边三角形，E₁D₁=E₁E=1/4，E₁F₁=BE₁=1/4，F₁F=FF₁=1/4，
∴四边形E₁D₁FF₁为菱形，边长均为1/4，周长C₂=4×1/4=1。
同理，C₃=4×1/8=1/2，C₄=4×1/16=1/4，…，形成首项为2，公比为1/2的等比数列，
通项公式为Cₙ=2×(1/2)ⁿ⁻¹=(1/2)ⁿ⁻²。
∴C₂₀₂₂=(1/2)²⁰²²⁻²=(1/2)²⁰²⁰。