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1. (2023 九原期末) 抛物线 $ y = -2(x - 2)^2 - 5 $ 的顶点坐标是(
A.$ (-2,5) $
B.$ (2,5) $
C.$ (-2,-5) $
D.$ (2,-5) $
D
)A.$ (-2,5) $
B.$ (2,5) $
C.$ (-2,-5) $
D.$ (2,-5) $
答案
D
解析
对于抛物线的一般顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $，其顶点坐标为 $ (h, k) $。
题目中给出的抛物线方程为 $ y = -2(x - 2)^2 - 5 $，与顶点式对比可知，$ h = 2 $，$ k = -5 $，因此顶点坐标为 $ (2, -5) $。
题目中给出的抛物线方程为 $ y = -2(x - 2)^2 - 5 $，与顶点式对比可知，$ h = 2 $，$ k = -5 $，因此顶点坐标为 $ (2, -5) $。
2. (2024 平房三模) 将二次函数 $ y = x^2 $ 向左平移 $ h $ 个单位长度,再向下平移 $ k $ 个单位长度,得到二次函数 $ y = (x + 2)^2 - 3 $,则 $ h $ 和 $ k $ 的值分别为(
A.$ -2,3 $
B.$ -2,-3 $
C.$ 2,-3 $
D.$ 2,3 $
D
)A.$ -2,3 $
B.$ -2,-3 $
C.$ 2,-3 $
D.$ 2,3 $
答案
D
解析
原函数为 $y = x^2$，向左平移 $h$ 个单位长度，函数变为 $y = (x + h)^2$，再向下平移 $k$ 个单位长度，函数变为 $y = (x + h)^2 - k$。
已知平移后的函数为 $y = (x + 2)^2 - 3$，对比得 $h = 2$，$k = 3$。
已知平移后的函数为 $y = (x + 2)^2 - 3$，对比得 $h = 2$，$k = 3$。
3. 抛物线 $ y = (x - 1)^2 - 2 $ 开口向
上
,顶点坐标是(1,-2)
,对称轴是直线x=1
。当 $ x $＞1
时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。答案
上；(1,-2)；x=1；＞1
解析
对于抛物线$y=(x - 1)^2 - 2$，二次项系数为$1\gt0$，所以开口向上；根据顶点式$y=a(x - h)^2 + k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得顶点坐标是$(1,-2)$；对称轴是直线$x=h$，即直线$x=1$；因为开口向上，对称轴为直线$x=1$，所以当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大。
4. $ A(2,y_1) $,$ B(3,y_2) $ 是抛物线 $ y = -(x + 1)^2 + k $ 上的两点,则 $ y_1 $
＞
$ y_2 $。(“$ ＜ $”“$ = $”或“$ ＞ $”)答案
＞
解析
抛物线$y=-(x+1)^2 + k$的对称轴为直线$x=-1$，开口向下。点$A(2,y_1)$，$B(3,y_2)$均在对称轴右侧，且$2＜3$，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，所以$y_1＞y_2$。
5. 已知二次函数 $ y = \frac{3}{4}(x - 1)^2 - 3 $。
(1) 在下面的直角坐标系中,画出函数的图象,并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及 $ y $ 随 $ x $ 变化的情况；
(2) 设函数的图象与 $ y $ 轴的交点为 $ P $,与 $ x $ 轴的交点为 $ Q $,求点 $ P,Q $ 的坐标。
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(1) 在下面的直角坐标系中,画出函数的图象,并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及 $ y $ 随 $ x $ 变化的情况；
(2) 设函数的图象与 $ y $ 轴的交点为 $ P $,与 $ x $ 轴的交点为 $ Q $,求点 $ P,Q $ 的坐标。
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答案
(1)
开口方向：因为$a = \frac{3}{4}＞0$，所以图象开口向上。
对称轴：对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为直线$x = h$，此函数$h = 1$，所以对称轴为直线$x = 1$。
顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)$，所以顶点坐标为$(1,-3)$。
$y$随$x$变化的情况：当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而增大。
图象：列表
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $-\frac{9}{4}$ | $-3$ | $-\frac{9}{4}$ | $0$ |
在直角坐标系中描点$( - 1,0)$，$(0,-\frac{9}{4})$，$(1,-3)$，$(2,-\frac{9}{4})$，$(3,0)$，并用平滑曲线连接。
(2)
求点$P$的坐标：
当$x = 0$时，$y=\frac{3}{4}(0 - 1)^2 - 3=\frac{3}{4}-3=-\frac{9}{4}$，所以点$P$的坐标为$(0,-\frac{9}{4})$。
求点$Q$的坐标：
当$y = 0$时，$\frac{3}{4}(x - 1)^2 - 3 = 0$，
$\frac{3}{4}(x - 1)^2=3$，
$(x - 1)^2 = 4$，
$x - 1=\pm2$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = - 1$，
所以点$Q$的坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
开口方向：因为$a = \frac{3}{4}＞0$，所以图象开口向上。
对称轴：对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为直线$x = h$，此函数$h = 1$，所以对称轴为直线$x = 1$。
顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)$，所以顶点坐标为$(1,-3)$。
$y$随$x$变化的情况：当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而增大。
图象：列表
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $-\frac{9}{4}$ | $-3$ | $-\frac{9}{4}$ | $0$ |
在直角坐标系中描点$( - 1,0)$，$(0,-\frac{9}{4})$，$(1,-3)$，$(2,-\frac{9}{4})$，$(3,0)$，并用平滑曲线连接。
(2)
求点$P$的坐标：
当$x = 0$时，$y=\frac{3}{4}(0 - 1)^2 - 3=\frac{3}{4}-3=-\frac{9}{4}$，所以点$P$的坐标为$(0,-\frac{9}{4})$。
求点$Q$的坐标：
当$y = 0$时，$\frac{3}{4}(x - 1)^2 - 3 = 0$，
$\frac{3}{4}(x - 1)^2=3$，
$(x - 1)^2 = 4$，
$x - 1=\pm2$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = - 1$，
所以点$Q$的坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
6. 如图,抛物线 $ y = -\frac{4}{3}(x + 1)^2 + \frac{16}{3} $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,连接 $ AC $。
(1) 求 $ A,B,C $ 三点的坐标,并直接写出线段 $ AC $ 所在直线的函数表达式；
(2) $ P $ 是线段 $ AC $ 上方抛物线上一动点,过点 $ P $ 作 $ PE \perp x $ 轴于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ F $。当 $ PF = EF $ 时,求点 $ P $ 的坐标。
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(1) 求 $ A,B,C $ 三点的坐标,并直接写出线段 $ AC $ 所在直线的函数表达式；
(2) $ P $ 是线段 $ AC $ 上方抛物线上一动点,过点 $ P $ 作 $ PE \perp x $ 轴于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ F $。当 $ PF = EF $ 时,求点 $ P $ 的坐标。
[img]
答案
(1)$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,4)$，直线AC：$y=\frac{4}{3}x + 4$；(2)$P(-1,\frac{16}{3})$
解析
(1) 求A、B两点坐标：令y=0，解方程$-\frac{4}{3}(x + 1)^2 + \frac{16}{3}=0$
$-\frac{4}{3}(x + 1)^2=-\frac{16}{3}$
$(x + 1)^2=4$
$x + 1=\pm2$
$x=-3$或$x=1$
$\because$点A在点B左侧，$\therefore A(-3,0)$，$B(1,0)$
求C点坐标：令x=0，$y=-\frac{4}{3}(0 + 1)^2 + \frac{16}{3}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{3}=4$，$\therefore C(0,4)$
设直线AC解析式为$y=kx + b$，将$A(-3,0)$，$C(0,4)$代入
$\begin{cases}-3k + b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{4}{3}\\b=4\end{cases}$
$\therefore$直线AC表达式：$y=\frac{4}{3}x + 4$
(2) 设$P(m,-\frac{4}{3}(m + 1)^2 + \frac{16}{3})$，则$E(m,0)$，$F(m,\frac{4}{3}m + 4)$
$\because PF=EF$，$\therefore y_P - y_F=y_F$，即$y_P=2y_F$
$\therefore -\frac{4}{3}(m + 1)^2 + \frac{16}{3}=2(\frac{4}{3}m + 4)$
化简得$m^2 + 4m + 3=0$，解得$m=-1$或$m=-3$（舍）
当$m=-1$时，$y_P=-\frac{4}{3}(-1 + 1)^2 + \frac{16}{3}=\frac{16}{3}$
$\therefore P(-1,\frac{16}{3})$
$-\frac{4}{3}(x + 1)^2=-\frac{16}{3}$
$(x + 1)^2=4$
$x + 1=\pm2$
$x=-3$或$x=1$
$\because$点A在点B左侧，$\therefore A(-3,0)$，$B(1,0)$
求C点坐标：令x=0，$y=-\frac{4}{3}(0 + 1)^2 + \frac{16}{3}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{3}=4$，$\therefore C(0,4)$
设直线AC解析式为$y=kx + b$，将$A(-3,0)$，$C(0,4)$代入
$\begin{cases}-3k + b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{4}{3}\\b=4\end{cases}$
$\therefore$直线AC表达式：$y=\frac{4}{3}x + 4$
(2) 设$P(m,-\frac{4}{3}(m + 1)^2 + \frac{16}{3})$，则$E(m,0)$，$F(m,\frac{4}{3}m + 4)$
$\because PF=EF$，$\therefore y_P - y_F=y_F$，即$y_P=2y_F$
$\therefore -\frac{4}{3}(m + 1)^2 + \frac{16}{3}=2(\frac{4}{3}m + 4)$
化简得$m^2 + 4m + 3=0$，解得$m=-1$或$m=-3$（舍）
当$m=-1$时，$y_P=-\frac{4}{3}(-1 + 1)^2 + \frac{16}{3}=\frac{16}{3}$
$\therefore P(-1,\frac{16}{3})$
