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(1)(2024 江都二模)某公司今年一月盈利 30 万元,三月盈利 36.3 万元,从一月到三月,每月盈利的增长率都相同,设月平均增长率为 $ x $,根据题意可列方程为
(2)某款新能源汽车的新车购买价为 20 万元,以后每年的年平均折旧率为 $ x $. 如果在购买该车后的第二年年末,该车折旧后值 14.45 万元,根据题意可列方程为
$30(1+x)^{2} = 36.3$
。(2)某款新能源汽车的新车购买价为 20 万元,以后每年的年平均折旧率为 $ x $. 如果在购买该车后的第二年年末,该车折旧后值 14.45 万元,根据题意可列方程为
$20(1 - x)^{2} = 14.45$
。答案
(1)$30(1+x)^{2} = 36.3$ ，(2)$20(1 - x)^{2} = 14.45$。
解析
(1) 设月平均增长率为 $x$，则二月的盈利为 $30(1+x)$ 万元，三月的盈利为 $30(1+x)^{2}$ 万元。
根据题意，三月盈利为 36.3 万元，所以可列方程为：$30(1+x)^{2} = 36.3$。
(2) 设年平均折旧率为 $x$，则第一年后的车价为 $20(1-x)$ 万元，第二年后的车价为 $20(1-x)^{2}$ 万元。
根据题意，第二年年末车价为 14.45 万元，所以可列方程为：$20(1-x)^{2} = 14.45$。
根据题意，三月盈利为 36.3 万元，所以可列方程为：$30(1+x)^{2} = 36.3$。
(2) 设年平均折旧率为 $x$，则第一年后的车价为 $20(1-x)$ 万元，第二年后的车价为 $20(1-x)^{2}$ 万元。
根据题意，第二年年末车价为 14.45 万元，所以可列方程为：$20(1-x)^{2} = 14.45$。
探究二 市场销售问题
例 2
某服装专卖店的某款服装每件进价为 80 元,每件售价为 120 元时,每天可销售 20 件. 现该店决定采取降价措施,以扩大销售量. 经市场调查发现,若每件服装降价 1 元,则平均每天可多销售 2 件. 设每件服装降价 $ x $ 元.
(1)每天可销售
(2)每件服装最多降价多少元,平均每天可盈利 1200 元；
(3)若店长希望平均每天能盈利 2000 元,这个愿望能实现吗？请说明理由.
名师导引
销售问题的解题关键是根据各数量之间的关系,用含 $ x $ 的代数式表示出每天的销售量及每件的盈利额.
例 2
某服装专卖店的某款服装每件进价为 80 元,每件售价为 120 元时,每天可销售 20 件. 现该店决定采取降价措施,以扩大销售量. 经市场调查发现,若每件服装降价 1 元,则平均每天可多销售 2 件. 设每件服装降价 $ x $ 元.
(1)每天可销售
$20 + 2x$
件,每件盈利____$40 - x$
元；(用含 $ x $ 的代数式表示)(2)每件服装最多降价多少元,平均每天可盈利 1200 元；
(3)若店长希望平均每天能盈利 2000 元,这个愿望能实现吗？请说明理由.
名师导引
销售问题的解题关键是根据各数量之间的关系,用含 $ x $ 的代数式表示出每天的销售量及每件的盈利额.
答案
(1)
每天可销售：$20 + 2x$；
每件盈利：$40 - x$；
(2)
依题意得：$(20 + 2x)(40 - x) = 1200$，
整理得：$x^{2} - 30x + 200 = 0$，
解得：$x_{1} = 10$，$x_{2} = 20$，
经检验，$x_{1} = 10$，$x_{2} = 20$均符合题意，
答：每件服装最多降价$20$元，平均每天可盈利$1200$元；
(3)
依题意得：$(20 + 2x)(40 - x) = 2000$，
整理得：$x^{2} - 30x + 600 = 0$，
$\because \Delta=b^2-4ac=(-30)^2-4×600=-1500＜0$，
方程无实数根，
$\therefore$这个愿望不能实现。
每天可销售：$20 + 2x$；
每件盈利：$40 - x$；
(2)
依题意得：$(20 + 2x)(40 - x) = 1200$，
整理得：$x^{2} - 30x + 200 = 0$，
解得：$x_{1} = 10$，$x_{2} = 20$，
经检验，$x_{1} = 10$，$x_{2} = 20$均符合题意，
答：每件服装最多降价$20$元，平均每天可盈利$1200$元；
(3)
依题意得：$(20 + 2x)(40 - x) = 2000$，
整理得：$x^{2} - 30x + 600 = 0$，
$\because \Delta=b^2-4ac=(-30)^2-4×600=-1500＜0$，
方程无实数根，
$\therefore$这个愿望不能实现。
变式训练
某超市销售一种饮料,平均每天可售出 100 箱,每箱利润为 12 元. 为扩大销量,增加利润,该超市准备适当降价促销. 据测算,每箱每降价 0.5 元,平均每天可多售出 10 箱. 若要使得每天销售该饮料获利 1440 元,则每箱应降价
某超市销售一种饮料,平均每天可售出 100 箱,每箱利润为 12 元. 为扩大销量,增加利润,该超市准备适当降价促销. 据测算,每箱每降价 0.5 元,平均每天可多售出 10 箱. 若要使得每天销售该饮料获利 1440 元,则每箱应降价
3或4
元.答案
3或4
解析
设每箱应降价$ x $元。每箱利润为$ (12 - x) $元，每天销量为$ 100 + \frac{x}{0.5} × 10 = 100 + 20x $箱。根据总利润=每箱利润×销量，得方程$ (12 - x)(100 + 20x) = 1440 $。展开并整理：$ -20x^2 + 140x + 1200 = 1440 $，化简为$ x^2 - 7x + 12 = 0 $。因式分解得$ (x - 3)(x - 4) = 0 $，解得$ x = 3 $或$ x = 4 $。
1.(常考题)
已知 2023 年春节的电影总票房约为 68 亿元,2025 年春节达到 95 亿元,设 2023 年春节到 2025 年春节的电影总票房的年平均增长率为 $ x $,则下列方程正确的是(
A.$ 68(1 + x)^2 = 95 $
B.$ 95(1 + x)^2 = 68 $
C.$ 68(1 - x)^2 = 95 $
D.$ 95(1 - x)^2 = 68 $
已知 2023 年春节的电影总票房约为 68 亿元,2025 年春节达到 95 亿元,设 2023 年春节到 2025 年春节的电影总票房的年平均增长率为 $ x $,则下列方程正确的是(
A
)A.$ 68(1 + x)^2 = 95 $
B.$ 95(1 + x)^2 = 68 $
C.$ 68(1 - x)^2 = 95 $
D.$ 95(1 - x)^2 = 68 $
答案
A
解析
设年平均增长率为 $ x $，2023 年票房为 68 亿元，经过两年增长后，2025 年票房为 $ 68(1 + x)^2 $。根据题意，2025 年票房为 95 亿元，因此方程为 $ 68(1 + x)^2 = 95 $。
2.
某只股票某天上涨 10%,之后两天跌回到上涨 10% 之前的价格. 若这两天此股票股价的平均下跌比率为 $ x $,则 $ x $ 满足的方程是(
A. $ (1 + 10\%)(1 - x)^2 = 1 $
B. $ (1 - 10\%)(1 + x)^2 = 1 $
C. $ (1 - 10\%)(1 + 2x) = 1 $
D. $ (1 + 10\%)(1 - 2x) = 1 $
某只股票某天上涨 10%,之后两天跌回到上涨 10% 之前的价格. 若这两天此股票股价的平均下跌比率为 $ x $,则 $ x $ 满足的方程是(
A
)A. $ (1 + 10\%)(1 - x)^2 = 1 $
B. $ (1 - 10\%)(1 + x)^2 = 1 $
C. $ (1 - 10\%)(1 + 2x) = 1 $
D. $ (1 + 10\%)(1 - 2x) = 1 $
答案
A
解析
设原价格为1，上涨10%后价格为$1 + 10\% = 1.1$。
之后两天下跌，平均下跌比率为$x$，则两天后的价格为$1.1(1 - x)^2$。
根据题意，两天后价格回到原价格1，因此有方程：
$(1 + 10\%)(1 - x)^2 = 1$
