1. 在平面直角坐标系中,以点 $ P(3,-4) $ 为圆心、4 为半径的圆( )

A.与 $ x $ 轴相交,与 $ y $ 轴相切
B.与 $ x $ 轴相离,与 $ y $ 轴相交
C.与 $ x $ 轴相切,与 $ y $ 轴相交
D.与 $ x $ 轴相切,与 $ y $ 轴相离

C

点$P(3,-4)$到$x$轴的距离为$|-4| = 4$，等于圆的半径，所以圆与$x$轴相切；点$P(3,-4)$到$y$轴的距离为$|3| = 3$，小于圆的半径$4$，所以圆与$y$轴相交。
C

2. 已知 $ \odot O $ 的半径为 $ 4 \, cm $, $ O $ 到直线 $ l $ 的距离是 $ d \, cm $,若直线 $ l $ 与 $ \odot O $ 有公共点,则( )

A.$ d＞4 $
B.$ d = 4 $
C.$ d＜4 $
D.$ 0 \leq d \leq 4 $

D

直线与圆有公共点，包括相切和相交两种情况。
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即$d = 4$；
当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$d ＜ 4$。
综上，$0 \leq d \leq 4$。
D

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AC = 3 $, $ BC = 4 $,以 $ C $ 为圆心、$ AC $ 长为半径作 $ \odot C $,则 $ AB $ 与 $ \odot C $ 的位置关系是( )

A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定

C

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
设点$C$到$AB$的距离为$h$，由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot h$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，解得$h=\frac{12}{5}=2.4$。
$\odot C$的半径为$AC=3$，因为$h=2.4\lt3$，所以$AB$与$\odot C$相交。
C

4. 已知 $ \odot O $ 的半径为 $ 6 \, cm $, $ P $ 为直线 $ l $ 上一点,且 $ OP = 6 \, cm $,则直线 $ l $ 与 $ \odot O $ 的位置关系是______.

相切或相交

当$OP$垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=OP=6\,cm$，等于$\odot O$的半径$6\,cm$，此时直线$l$与$\odot O$相切；
当$OP$不垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d\lt OP=6\,cm$，小于$\odot O$的半径$6\,cm$，此时直线$l$与$\odot O$相交。
故直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。

5. $ \odot O $ 的半径是 $ r $,圆心 $ O $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ d $, $ r $ 和 $ d $ 是方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的两根,当直线 $ l $ 与 $ \odot O $ 相切时,$ m $ 的值是______.

4

直线$ l $与$ \odot O $相切时，圆心到直线的距离等于半径，即$ d=r $。
因为$ r $和$ d $是方程$ x^{2}-4x + m = 0 $的两根，且$ d=r $，所以方程有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ ax^{2}+bx + c = 0 $（$ a\neq0 $），当判别式$ \Delta = b^{2}-4ac = 0 $时，方程有两个相等的实数根。
在方程$ x^{2}-4x + m = 0 $中，$ a = 1 $，$ b=-4 $，$ c = m $，则$ \Delta=(-4)^{2}-4×1× m=16 - 4m $。
令$ \Delta = 0 $，即$ 16 - 4m = 0 $，解得$ m = 4 $。
4

6. 如图,正方形的边长为 $ 4 \, cm $, $ \odot O $ 的半径为 $ 1 \, cm $,正方形的中心 $ O_{1} $ 与圆心 $ O $ 在直线 $ l $ 上, $ \odot O $ 与 $ CD $ 边相切. $ \odot O $ 以 $ 1 \, cm/s $ 的速度向左边运动.
(1)当运动时间 $ t $ 在何数值范围时, $ \odot O $ 与 $ CD $ 相交?
(2)当 $ t $ 为何值时, $ \odot O $ 与 $ AB $ 相切?

(1)$0＜t＜2$;
(2)$t=4$或6

7. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle A = 90^{\circ} $, $ \angle C = 60^{\circ} $,点 $ O $ 为 $ BC $ 上一点, $ OB = 2 $, $ AC = 3 $,以 $ O $ 为圆心,$ r $ 为半径的 $ \odot O $ 与 $ \triangle ABC $ 的一边相切,求 $ r $ 的值.

1或$2\sqrt {3}$

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，$\angle C=60^{\circ}$，$AC=3$，
$\therefore \angle B=30^{\circ}$，$BC=\frac{AC}{\sin 30^{\circ}}=6$，$AB=AC\tan 60^{\circ}=3\sqrt{3}$。
情况1：$\odot O$与$AB$相切
过$O$作$OD\perp AB$于$D$，则$OD=r$。
$\because OB=2$，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore r=OD=OB\sin 30^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1$。
情况2：$\odot O$与$AC$相切
过$O$作$OE\perp AC$于$E$，则$OE=r$。
$OC=BC-OB=6-2=4$，$\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore r=OE=OC\sin 60^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
情况3：$\odot O$与$BC$相切
半径$r$不存在（切线半径垂直于切线，此时无意义）。
综上，$r=1$或$2\sqrt{3}$。
答案：$1$或$2\sqrt{3}$

8. 两个同心圆中,大圆的半径为 8,小圆的半径为 4, $ AB $ 为大圆的弦,若 $ AB = 8\sqrt{3} $.请判断小圆与直线 $ AB $ 的位置关系,并证明.

相切,证明略

相切。
证明：设圆心为$O$，过$O$作$OC \perp AB$于点$C$，则$AC = \frac{1}{2}AB$。
因为$AB = 8\sqrt{3}$，所以$AC = \frac{1}{2} × 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle AOC$中，$OA = 8$，由勾股定理得$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$。
因为小圆半径为$4$，即圆心$O$到直线$AB$的距离等于小圆半径，所以小圆与直线$AB$相切。